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Gaußsche Summenformel bei Potenzen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Folgen und Reihen, Gauss-Verfahren, Induktion

niggo233 aktiv_icon

18:16 Uhr, 03.01.2016

Hallo,
ich stehe vor dem Problem, dass ich folgende Summen umformen muss um mit diesen eine vollständige Induktion durchführen zu müssen.
So soll ich eben durch Induktion beweisen, dass

(\sum_{i = 1}^{n} k^{3}) = {(\sum_{i = 1}^{n} k)}^{2}

für alle

n ε ℕ

mit

n \geq 1

gilt.

In der Aufgabenstellung heißt es weiter, dass die gaußsche Summenformel ohne Beweis verwendet werden darf. Allerdings benötige ich doch die Faulhabersche Formel, um die erste Summe vereinfachen zu können, und diese haben wir noch nicht bewiesen.
Ist die Anwendung der gaußschen Summenformel in diesem Fall überhaupt sinnvoll? Und wenn ja, wie würde die Umsetzung aussehen?

Danke schon einmal für die Hilfe

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

abakus

18:32 Uhr, 03.01.2016

Auf der rechten Seite musst du doch die Gaußsche Summenformel verwenden und das erhaltene Ergebnis quadrieren.

niggo233 aktiv_icon

11:35 Uhr, 04.01.2016

Danke für deine schnelle Antwort.
Okay ja das ergibt Sinn :-) Also würde die Summe

{(\sum_{i = 1}^{n} k)}^{2}

umgestellt

{(\frac{n \cdot (n + 1)}{2})}^{2}

"ergeben". Aber wie kann ich nun die Summe

(\sum_{i = 1}^{n} k^{3})

umstellen?

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11:41 Uhr, 04.01.2016

Die Summenformel für

k^{3}

findest du hier:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel2.htm

niggo233 aktiv_icon

11:57 Uhr, 04.01.2016

Dankeschön für die Antwort!

Kann mir jetzt noch jemand kurz erklären wie ich auf

\frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4}

komme?

Roman-22

12:21 Uhr, 04.01.2016

>

Aber wie kann ich nun die Summe (∑i=1nk3) umstellen?
Gar nicht. Das sollst du doch nach deinen eigenen Worten mit Induktion beweisen.
Dank der Gauß-Formel weißt du nun, auf welches Ergebnis du lossteuern musst.

Du schreibst doch selbst

>

Also würde die Summe (∑i=1nk)2 umgestellt

{(\frac{n \cdot (n + 1)}{2})}^{2}

"ergeben,

daher kann wohl
>Kann mir jetzt noch jemand kurz erklären wie ich auf

\frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4}

komme?
nicht ganz dein Ernst sein, oder?

R

niggo233 aktiv_icon

12:30 Uhr, 04.01.2016

Das mit der Induktion hab ich schon durchgeführt. Was ich meinte ist, wie man unabhängig von der Aufgabe der vollständigen Induktion von der Summe

\sum_{i = 0}^{n} k^{3}

auf die Form

\frac{n^{2} \cdot {(n + 1)}^{2}}{4}

kommt. Sprich, wie sehen die Rechenschritte bei der Anwendung der gaußschen Summenformel aus. Habe mich vielleicht etwas undeutlich ausgedrückt.

Roman-22

12:32 Uhr, 04.01.2016

Du möchtest also die Formel noch auf eine weitere Art, nämlich direkt mit Umformungen beweisen. Mag sein, dass das möglich ist, aber sicher nicht direkt unter Anwendung der Gaußformel, da es sich ja um keine arithmetische Reihe handelt.
Vermutlich wirst du da irgendwann bei Faulhaber und den Bernoulli-Zahlen landen.

Der "klassische" Beweis läuft eben über die vollständige Induktion.

R

niggo233 aktiv_icon

12:42 Uhr, 04.01.2016

Okay gut, dann bedanke ich mich bei eurer Hilfe. Schönen Montag noch!

MfG

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