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Gaußsche Summenformel für ungerade ahlen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Beweis, Gauss, Gaußsche Summenformel, MATH, Mathematikstudium, Physik, physikstudium
 
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Hey;-) Ich verstehe folgende Aufgabe nicht (Siehe Bild Aufgabe . Da ich von selbst absolut keinen Ansatz hatte, habe ich mir die Lösung angeschaut, aber aus dieser werde ich absolut nicht schlau. Deswegen wäre ich super dankbar, wenn mir jmd die Lösung erklären könnte. Denn ich bin wirklich am verzweifeln, habe mir zig Videos angeschaut und dieses Forum ist meine letzte Hoffnung:( Danke schon mal im voraus. Seht ihr das Bild? Weil ich selbst sehe es iwie nicht  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Bilder 500kB werden nicht angezeigt. Entweder Bildgröße verkleinern oder Aufgabe und Problem genau beschreiben. |
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Zum einen wäre es doch sinvoll, dass du, wenn es in deiner Frage um Aufgabe geht, du auch nur den dafür relevanten Bildausschnitt hier hochlädtst und den dann aber bitte mit richtiger Orientierung, damit wir uns beim lesen nicht den Hals verrenken müssen (siehe Anhang). Zum anderen solltest du genauer ausführen, was dir da an der Musterlösung unklar ist, damit man besser erahnen kann, wo man bei der Hilfestellung ansetzen muss. Vielleicht hilft es dir, wenn du dir die Sache für ein konkretes ungerades (zB mal genau so aufschreibst, wie das in den ersten beiden Zeilen der Musterlösung gemacht würde, damit du siehst, welche Zahlen hier konkret addiert werden (die Brüche vereinfachen sich für ungerades ja alle zu ganzen Zahlen). Beachte auch, dass der Zeilenumbruch von erster auf zweiter Zeile in der Musterlösung nicht willkürlich erfolgt ist und dass es auch Absicht ist, dass die Zahlen in der zweiten Zeile in absteigender Reihenfolge angeschrieben sind. Im nächsten Schritt werden dann nämlich genau immer jene beiden Ausdrücke, die übereinander stehen, zu "m+1" zusammengefasst und die "mittlere" Zahl (gleichbedeutend mit bleibt dabei noch einzeln übrig. Man könnte bei ungeradem auch einfach die Summe von 1 bis zum geraden so wie es sich Gauß überlegt hatte ermitteln und dann noch dazu addieren. Aber das wäre möglicherweise nicht ganz im Sinne der Aufgabenstellung.  |
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Die vorgestellte Art der Summenbildung ist dämlich, weil bei ungerader Summandenanzahl und Paarbildung in der Mitte ein einzelner Summand übrigbleibt. Für die gesuchte Summe gilt s= 1 + 2 + 3 +...+(m-2)+(m-1)+ m ebenso wie s=m+(m-1)+(m-2)+...+3 + 2 + 1 Addiert man beide Zeilen und fasst dabei immer übereinanderstehende Summanden zusammen, erhält man 2s=(m+1)+(m+1)+(m+1)+...+(m+1)+(m+1)+(m+1) mit m gleichen Summanden (m+1). Also gilt 2s=(m+1)*m und demzufolge s=(m+1)*m/2. |
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@abakus Die vorgestellte Art der Summenbildung ist dämlich, weil bei ungerader Summandenanzahl und Paarbildung in der Mitte ein einzelner Summand übrigbleibt. "dämlich" oder nicht, der Angabetext verlangt doch recht deutlich nicht irgend einen Beweis, sondern den Nachweis mittels "dem für gerade angedeuteten Gaußschen Rezept", womit eben offenbar genau die Zusammenfassung von ersten und letzten, zweiten und vorletzten Summanden, etc. gemeint ist. Und du hast richtig erkannt, dass bei ungeradem dabei "in der Mitte" ein Summand ohne entsprechenden allein Partner übrig bleibt. Genau die Behandlung dieses Unterschieds zu geradem scheint dem Aufgabensteller ja gerade wichtig zu sein, denke ich ;-) Alternative Beweismethoden für die Gaußsche Summenformel gibt es viele und manche mögen eleganter und intuitiver und kürzer sein als die hier geforderte, in deinen Augen "dämliche". Dennoch sind explizite Vorgaben bei einer Aufgabenstellung zu beachten, auch wenn man meint, es anders besser zu können. Ganz abgesehen davon ging es der Fragestellerin ja auch um das Verstehen der vorgegebenen Lösung und nicht um irgend einen Beweis der Formel. Aber gar so dringend scheint die Frage ja ohnedies nicht zu sein . |
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@Roman-22 Danke für deine Antwort. Tut mir leid, du hast na klar recht, dass es übersichtlicher ist, wenn ich nur den Bildausschnitt hochlade, welcher relevant ist. Ich werde morgen früh mich nochmal an die Aufgabe setzten. |
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Hey Elli, der Geschichte nach sollte Gauß ja die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Dazu habe er sich wohl überlegt, die Hälfte der Zahlen in die erste Zeile und die anderer Hälfte der Zahlen von oben beginnend absteigend in die zweite Zeile zu schreiben. Es sah dann so aus: 100 99 98 ... 51 Wenn man die übereinander liegenden Zahlen jetzt addiert, erhält man immer 101 und es gibt 50 dieser Additionen. Also ist das Gaußsche Rezept für dieses Beispiel: Will man dieses Schema jetzt auf ungerade Zahlen anwenden, hat man das Problem, dass es eine Zahl zu viel gibt, wenn man sie so untereinander schreiben möchte. In der Lösung wurde diese zusätzliche Zahl ans Ende der ersten Zeile gepackt (). Für wäre das also die 51. Die ersten (also im Beispiel mit gerade 50) übereinander liegenden Zahlen ergeben in der Summe wieder (im Beispiel 102). Daraus ergibt sich Zeile 3 der Lösung. Nun ist aber der eine zusätzliche Summand (im Beispiel 51) noch da. Dieser steht daher noch additiv am Ende von Zeile 3. Wir haben also insgesamt mal da stehen und den letzten Summanden. Beim Übergang von Zeile 3 zu Zeile 4 wurde ansonsten nur zu , was mit Bruchrechenregeln leicht nachvollziehbar ist. Die letzte Gleichung ergibt sich dann durch: Ich hoffe, das hilft dir weiter, sonst frag ruhig nochmal nach. LG |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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