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Gemeinsame Tangente zweier Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Tangente

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17:35 Uhr, 04.12.2012

Hallo zusammen

Weiss jemand, wie die folgende Aufgabe gelöst werden kann?

f (x) = x^{5}

und

g (x) = 8 + x^{5}

Bestimme die gemeinsame Tangente

T

der Graphen von

f

und

g

. Gib eine Koordinatengleichung von

T

an.

Normalerweise würde ich so vorgehen, dass ich die Ableitungen von

f

und

g

gleich setze. sprich

f' (x) = g' (x)

. Das würde dann

x 0

ergeben. Dann würde ich einfach

x 0

in die Funktionen einsetzenn und habe dann

y 0

.

Bei dieser Aufgabe funktioniert dieses Verfahren allerdings nicht, da

f' (x) = 5 x^{4}

und

g' (x)

ebenfall gleich

5 x^{4}

ist. Also ich kann

x 0

nicht ausrechnen...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.12.2012

Die Tangente ist bestimmt durch die Steigung und den Berührpunkt.

Stelle für jede der beiden Funktionen die allgemeine Tangentengleichung auf (Punkt-Steigungsformel) und setze dann die beiden Tangentengleichungen gleich.

Das wird eine Lösung ergeben.

Wenn Du die Steigungen nur an der gleichen Stelle betrachtest, müsste die Tangente die Steigung unendlich haben - kommt aber erst im Unendlichen vor ...

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17:55 Uhr, 04.12.2012

Meinst die folgende Gleichung:

y = f' (x 0) \cdot (x - x 0) + y 0

Hätten wir da nicht zwei unbekannten? Nämlich

x 0

und

y 0

?

Könntest du vielleicht die Gleichung, die du meinst, im Zusammenhang mit dieser Aufgabe aufstellen?

pleindespoir aktiv_icon

18:10 Uhr, 04.12.2012

Das wäre die Tangentengleichung für EINE der beiden Funktionen.

y_{0} = f (x_{0})

und damit garnicht so unbekannt.

das gleiche nochmal für g(x) und schon hätten wir zwei Tangentengleichungen.

Edit: teilgelöscht wegen Fehler

anonymous

18:22 Uhr, 04.12.2012

f (x) = x^{5}

istpunktsymmetrisch zum Ursprung.

g (x) = x^{5} + 8

ist um 8 Einheiten nach oben verschoben, also punktsymmetrisch zu

(0 | 8)

Eine gemeinsame Tangente muss daher durch

Q (0 | 4)

gehen.

anonymous

18:32 Uhr, 04.12.2012

f (x) = x^{5}

ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

g (x) = x^{5} + 8

ist um 8 Einheiten nach oben verschoben, also punktsymmetrisch zu

(0 | 8)

Eine gemeinsame Tangente muss daher durch

Q (0 | 4)

gehen.
Die gemeinsame Tangente hat die Form

y = k \cdot x + 4

Fehlt noch ein Punkt oder der Anstieg.

f' (x) = 5 \cdot x^{4}

g' (x) = 5 \cdot x^{4}

Wegen der Punktsymmetrie muss der Punkt auf

f

eine negative x-Koordinate haben, der Punkt auf

g

aber eine positive.
Trotzdem soll gelten

f' (x_{1}) = g' (x_{2})

mit

x_{\neq} x_{2}

Das ist nur möglich, wenn

x_{1} = - 1 \Rightarrow f' (x_{1}) = 5 \cdot x_{1}^{4} = 5 \cdot {(- 1)}^{4} = 5

und

g' (x_{2})

muss auch 5 ergeben, aber

x_{1} \neq - 1 \Rightarrow x_{2} = + 1

g' (+ 1) = 5 \cdot {(+ 1)}^{4} = 5

Also ist die gemeinsame Tangente

y = 5 \cdot x + 4

anonymous

18:37 Uhr, 04.12.2012

Zeichnung

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18:41 Uhr, 04.12.2012

Besten dank für deine Antwort. Sie ist sehr übersichtlich und ausführlich.

Gibt es allerdings auch einen Weg, dass man alles rein rechnerisch herausfinden kann?

anonymous

18:42 Uhr, 04.12.2012

Ja, kommt gleich.

anonymous

19:00 Uhr, 04.12.2012

P_{1} = (x_{1} | x_{1}^{5}) \in f

P_{2} (x_{2} | x_{2}^{5}) \in g

Es muss

x_{1} \neq x_{2}

sein

f' (x) = 5 \cdot x^{4}

g' (x) = 5 \cdot x^{4}

f' (x_{1}) = 5 \cdot x_{1}^{4}

g' (x_{2}) = 5 \cdot x_{2}^{4}

Da gemeinsame Tangente, muss gelten

5 \cdot x_{1}^{4} = 5 \cdot x_{2}^{4}

\Rightarrow 5 \cdot x_{1}^{4} - 5 \cdot x_{2}^{4} = 0

linke Seite in Faktoren aufspalten.

5 (x_{1}^{4} - x_{2}^{4}) = 5 \cdot (x_{1}^{2} - x_{2}^{2}) \cdot (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 5 \cdot (x_{1} + x_{2}) \cdot (x_{1} - x_{2}) \cdot (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

Also

(x_{1} + x_{2}) \cdot (x_{1} - x_{2}) \cdot (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 0

aber

x_{1} \neq x_{2}

Unter diesen Bedingungen kann

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

niemals 0 sein

x_{1} - x_{2}

niemals 0 sein

\Rightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = - x_{2}

und

5 \cdot {(x_{1})}^{4} = 5 \cdot {(x_{2})}^{4}

usw. usw.

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19:13 Uhr, 04.12.2012

Aber unter diesen Bedingungen können

x 1

und

x 2

auch beispielsweise 4 und

- 4

oder 5 und

- 5

sein, da der Potenz ja eine gerade Zahl ist. Die Gleichung würde dann trotzdem aufgehen. Wie kann man da

q

ausrechnen?

anonymous

19:25 Uhr, 04.12.2012

Bei jedem anderen Wert würde die Tangente nicht durch den Punkt

Q (0 | 4)

gehen.

anonymous

19:48 Uhr, 04.12.2012

Abschließender Beweis.
Tangente an

f

im Punkt

P_{1} (x_{1} | x_{1}^{5})

y - x_{1}^{5} = 5 \cdot x_{1}^{4} \cdot (x - x_{1})

Tangente geht durch

Q (0 | 4)

4 - x_{1}^{5} = - 5 \cdot x_{1}^{5}

4 = - 4 \cdot x_{1}^{5}

x_{1}^{5} = - 1 \Rightarrow x_{1} = - 1

x_{1} = - 1

ist die einzige reelle Lösung.
Tangente an

g

im Punkt

P_{2} (x_{2} | x_{2}^{5} + 8)

y - x_{2}^{5} - 8 = 5 \cdot x_{2}^{4} (x - x_{2})

Tangente geht durch

Q (0 | 4)

4 - x_{2}^{5} - 8 = - 5 \cdot x_{2}^{5}

- 4 = - 4 \cdot x_{2}^{5}

x_{2}^{5} = 1 \Rightarrow x_{2} = 1

einzige reele Lösung
UND

f' (- 1) = g' (+ 1)

q . e . d

anonymous

20:26 Uhr, 04.12.2012

Oder noch ein Beweis, falls man die Punktsymmetrie nicht erkannt hat.
Gemeinsame Tangente

\Leftrightarrow

Anstieg als Tangente an

f =

Anstieg als Tangente an

g

f (x) = x^{5}

und

g (x) = x^{5} + 8

Schon bewiesen

x_{1} = - x_{2}

bzw.

x_{2} = - x_{1}

P_{1} (x_{1} | x_{1}^{5}) \in f

f' (x_{1}) = 5 \cdot x_{1}^{4}

t_{f :} y - x_{1}^{5} = 5 \cdot x_{1}^{4} \cdot (x - x_{1})

y = 5 \cdot x_{1}^{4} \cdot x - 4 \cdot x_{1}^{5}

P_{2} (x_{2} | x_{2}^{5} + 8) \in g

g' (x_{2}) = 5 \cdot x_{2}^{4}

t_{g :} y - x_{2} - 8 = 5 \cdot s_{2}^{4} \cdot (x - x_{2})

y = 5 \cdot x_{2}^{4} \cdot x - 4 \cdot x_{2}^{5} + 8

Diese beiden Tangenten müssen identisch sein,

d . h

. in Anstieg und Abschnitt auf der y-Achse übereinstimmen.
Anstiege

5 \cdot x_{1}^{4} = 5 \cdot x_{2}^{4}

x_{1} = - x_{2}

ist, wäre das vorerst für alle Werte erfüllt ( gerade Exponent )
Abschnitte

- 4 \cdot x_{1}^{5} = - 4 \cdot x_{2}^{5} + 8

- 4 \cdot {(- x_{2})}^{5} = - 4 \cdot x_{2}^{5} + 8

4 \cdot x_{2}^{5} = - 4 \cdot x_{2}^{5} + 8

8 \cdot x_{2}^{5} = 8

x_{2}^{5} = 1 \Rightarrow x_{2} = 1

einzige reele Lösung
Daher

x_{1} = - 1

q . e . d

1055700

1055598

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