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Gleichseitiges Dreieck im Quadrat

Lehrer

Tags: Dreieck, Fläche, Quadrat

Curly aktiv_icon

11:54 Uhr, 26.08.2009

Einem Quadrat mit der Seite a wird ein gleichseitiges Dreieck so eingeschrieben, dass eine Ecke genau mit der Ecke des Quadrates zusammenfällt. Bestimme seine Seite!

Kann mir jemand dabei helfen? Danke!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Winkelsumme
Wurzelgesetze

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

magix aktiv_icon

12:15 Uhr, 26.08.2009

Hast du denn selbst eine Idee, wie man da herangehen könnte? Denn wenn du die Lösung in Zusammenarbeit erstellen willst, musst du schon selbst auch ein bisschen was zeigen.

Im Übrigen ist die Lösung so simpel, dass da sonst nicht mehr viel Platz für Zusammenarbeit bleibt.

Gruß Magix

Edddi aktiv_icon

12:41 Uhr, 26.08.2009

...so simpel ist's ja nun auch nicht, aber ohne Weiteres machbar.

Fertige dir ein Skizze an (so, wie im Anhang)

Jetzt kannst du

p 1

berechnen

(p 1 = f (a, s))

mit dem Pythagoras

Dann kannst du

s

aus dem oberen rechten gleichschenkligen Dreieck berechnen.

s = \sqrt{2} \cdot (a - p 1) = \sqrt{2} \cdot (a - f (a, s))

...dies nach

s

umgestellt gibt dir

s

in Abh. von

a (s = g (a))

;-)

Curly aktiv_icon

13:43 Uhr, 26.08.2009

habe es gelöst,

s = 2 \sqrt{2} a

.

hatte einen komplizierteren Ansatz, indem ich die Flächen gleich gesetzt hab, da diese aufgabe bei flächenberechnungen dabei war, sprich

a^{2} = p_{1} \cdot a + \frac{{(a - p_{1})}^{2}}{2} + \frac{s^{2}}{4} \cdot \sqrt{3}

dann nach Phythagoras für

p_{1} = \sqrt{s^{2} - a^{2}}

komme aber beim ausrechnen dann nicht weiter, eigentlich sollte das ergebnis ja das gleiche sein, oder?

magix aktiv_icon

19:00 Uhr, 26.08.2009

Leider weiß ich nicht, um welche Klassenstufe es geht. Falls sin und

cos

schon bekannt sind, würde es nämlich weit einfacher gehen:

Der Winkel, der neben dem gleichseitigen Dreieck in der Ecke des Quadrates noch übrig bleibt, ist 15°. Die Dreiecksseite

s

und die Quadratseite a schließen diesen Winkel ein. Da es sich bei dem Dreieck mit den Seiten

a, s

und

p_{1}

um eine rechtwinkliges Dreieck handelt, ist cos(15°)=a/s und damit ist s=a/cos(15°).

Gruß Magix

Edit:

s = 2 \sqrt{2} \cdot a

kann nicht stimmen, dann wäre

s

mehr als

2,8

mal so lang wie a und das passt überhaupt nicht zur Skizze, aus der ganz klar hervorgeht, dass

s

nur wenig länger ist als

a

Curly aktiv_icon

21:45 Uhr, 26.08.2009

Leider sind sin und

cos

nicht bekannt, wie gesagt, die Aufgabe war unter Flächenberechnungen. Habe auch gerade gemerkt, dass das nicht die richtige Lösung sein kann.

komme auf das ergebnis

s = 2 \frac{a}{\sqrt{\sqrt{3} + 2}}

das entspricht genau deinem ergebnis, also gehe ich jetzt davon aus das es richtig ist, hatte immer gedacht ich mach beim Wurzelrechnen was falsch.

Vielen Dank

!!!!

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