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Gleichung auflösen: Kreis+Gerade-->Diskriminante

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Tags: Allgemein form, Diskriminante, Funktion, Funktionentheorie, Körper

Oekel aktiv_icon

21:22 Uhr, 16.01.2014

Hi,
ich bin ziemlich eingerostet und ein wenig auf dem Holzweg, denn ich versuche seit einer Std. etwas sehr einfaches (nämlich die Bestimmung der Diskriminante) formeltechnisch so umzuformen, dass ich es als Funktion in Java programmieren kann.

[optional fürs Verständnis des Endergebnisses]
public static boolean intersectionCircLine(double lineX1, double lineY1,double lineX2, double lineY2, double circMX, double circMY, double circRadius){
....
double diskr = //??
return diskr<0?false:true;
}

Bekannt ist mir natürlich:

k : (X - X_{m})^{2} + (Y - Y_{m})^{2} = r^{2}

g : Y = m * X + b

(X - X_{m})^{2} + ([m * X + b] - Y_{m})^{2} - r^{2} = 0

ich hoffe das hier richtig umgestellt zu haben, so dass ich dann folgendes erhalte:

g : Y = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}} * X + Y_{2} - X_{2} * \frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}}

g : Y = \frac{X Y_{2} - X Y_{1}}{X_{2} - X_{1}} - \frac{X_{2} Y_{2} - X_{2} Y_{1}}{X_{2} - X_{1}} + Y_{2}

g : Y = \frac{X Y_{2} - X Y_{1} - X_{2} Y_{2} - X_{2} Y_{1}}{X_{2} - X_{1}} + Y_{2}

das habe ich dann mal, um nicht Seitenweise Papier zu verschwenden bei www.mathepower.com wie folgt eingegeben und nur Mist bzw. Abbrüche bekommen

X_{1} = a

X_{2} = b

Y_{1} = c

Y_{2} = d

g : Y = \frac{d - c}{b - a} X + \frac{b c - a d}{b a}

also:

(X - M)^{2} + (((d - c) / (b - a) * X + (b * c - a * d) / (b - a)) - N)^{2} - r 2

(vereinfachen lassen)

(X - M)^{2} + (((d - c) / (b - a) * X + (b * c - a * d) / (b - a)) - N)^{2} - r 2 = 0

(nach

X

auflösen lassen)

Was übersehe ich hier bloß, es muss doch eigentlich ?

Ich möchte nur in eine Normaldarstellung übeführen, so dass die p-q-Formel oder Mitternachtsformel angewendet werden kann, damit meine Wurzel==Diskriminante habe ;(

Grüße Oekel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Vorwissen
Raummessung
Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade bestimmen

OmegaPirat

16:43 Uhr, 17.01.2014

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung verstanden habe.
Anhand deines Quelltextes vermute ich, dass du eine Methode schreiben möchtest, der du zwei Punkte einer Geraden (was schließlich die Gerade eindeutig definiert), den Mittelpunkt des Kreises sowie dessen Radius übergibst. Die Methode soll dabei einen boolean zurückgeben, ob die Linie den Kreis schneidet oder nicht. Um dies rauszufinden, verwendest du die Diskriminante.
Liege ich damit richtig?

Oekel aktiv_icon

16:56 Uhr, 17.01.2014

Ja genau, so war der Plan, da ich keine andere/einfachere Möglichkeit kenne die Passante zu bestimmen, als mit der Diskriminante.
Nur kommt da ein riesiges Konstrukt raus, wenn ich die beiden Gleichungen (g: k:-) ineinander einsetze und nach X1,X2 auflösen will.

Das Dumme ist einfach, dass X in den beiden quadratischen Teilen steckt und gerade beim Zweiten einen imensen Rattenschwanz hinter sich her zieht.

Vielleicht sollte ich m=m und b=b lassen, aber trotzdem will es sich nicht auflösen lassen zu etwas wie

x^{2} + x + c = 0

x^{2} - 2 x * X_{m} + X_{m}^{2} + m^{2} x^{2} + 2 * m * x + b^{2} - r^{2} = 0

Grüße Oekel

OmegaPirat

17:37 Uhr, 17.01.2014

Ja ich würde

m

und

b

zunächst so lassen, um die Rechnung übersichtlicher zu gestalten.
Dann hast du

k : {(x - x_{m})}^{2} + {(y - y_{m})}^{2} = r^{2}

g : y = m x + b

Jetzt einfach

g \in k

einsetzen, wie du es bereits getan hast

{(x - x_{m})}^{2} + {(m x + b - y_{m})}^{2} = r^{2}

Hier musst du nun einfach die klammern auflösen und dann die terme nach dem grad (quadratisch, linear, nullte ordnung) sortieren. Dann hast du es schließlich im prinzip schon

m

und

b

bestimmst du im programm vorher separat aus den übergegebenen werten.
also

z . B

. so
double

m = \frac{y 2 - y 1}{x 2 - x 1};

wenn du alles in eine formel packst, wird es einfach nur unübersichtlich.

Oekel aktiv_icon

17:49 Uhr, 17.01.2014

Ich stell mich wohl zu blöd an.
Schau mal in meine letzte Zeile, da hab ich es doch aufgelöst.
Was soll ich dort nun wie sortieren?

x^{2} + . . .

. . . + x^{2} * m^{2} + . . .

, usw. lassen sich doch nicht zusammenfassen.

Grüße Oekel

OmegaPirat

18:27 Uhr, 17.01.2014

ok nehmen wir deine letzte zeile

x^{2} - 2 x \cdot x_{m} + x_{m}^{2} + m^{2} x^{2} + 2 m x + b^{2} - r^{2} = 0

du hast dort jetzt zwei quadratische terme.

x^{2}

und

m^{2} x^{2}

es ist

x^{2} + m^{2} x^{2} = x^{2} \cdot (1 + m^{2})

Du hast zwei lineare terme.

- 2 \cdot x_{m} \cdot x

und

2 \cdot m \cdot x

es ist

- 2 \cdot x_{m} \cdot x + 2 \cdot m \cdot x = - 2 \cdot (x_{m} + m) \cdot x

du hast drei terme nullter ordnung, nämlich

x_{m}^{2} + b^{2} - r^{2}

Fügst du nun alles zusammen, sieht das so aus

(1 + m^{2}) \cdot x^{2} - 2 \cdot (x_{m} + m) \cdot x + x_{m}^{2} + b^{2} - r^{2} = 0

jetzt noch durch

(1 + m^{2})

teilen und du erhälst die normalform auf die du die pq-formel anwenden kannst

x^{2} - 2 \cdot \frac{x_{m} + m}{1 + m^{2}} \cdot x + \frac{x_{m}^{2} + b^{2} - r^{2}}{1 + m^{2}} = 0

Oekel aktiv_icon

21:15 Uhr, 17.01.2014

Oh Gott wie peinlich! Bei der ersten Zusammenfassung ist mir alles wieder klar geworden.

Ich danke dir fürs Augen Öffnen!

Grüße Oekel

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