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Gleichung auflösen (Logarithmus naturalis)

Schüler

Tags: Gleichungen, Logarithmus

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16:10 Uhr, 19.08.2014

Hi Leute! :-)

Ich hänge an einer Aufgabe, in welcher ich eine Gleichung nach der Variablen "t" auflösen soll.

c = \frac{1 - e^{- k \cdot t}}{1 + e^{- k \cdot t}}

Dass ich mit dem Logarithmus Naturalis arbeiten muss, ist mir soweit klar.

Ich hatte den Term erst einmal soweit "vereinfacht" :

ln (e) = ln (1 - e^{- k \cdot t}) - ln (1 + e^{- k \cdot t})

Ich muss irgendwie den Exponenten vor die Klammern ziehen, aber mich stören die Summen bzw. Differenzen im Logarithmus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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16:18 Uhr, 19.08.2014

Deine Umformung führt so wohl nicht zum Ziel.

Gegenfrage (bzw. Tipp):
Könntest Du die Gleichung

c = \frac{1 - x}{1 + x}

nach

x

auflösen?

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16:30 Uhr, 19.08.2014

Mein Ergebnis wäre dann:

x = \frac{1 - c}{1 + c}

x

und

c

tauschen also den Platz. Soll ich versuchen, das jetzt auf die Ursprungsgleichung anzuwenden?

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16:33 Uhr, 19.08.2014

Ja, das ist eine gute Idee!

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16:36 Uhr, 19.08.2014

Ich komme jetzt FAST auf die im Buch angegebene Lösung.

Mein Rechenweg:

e^{- k \cdot t} = \frac{1 - c}{1 + c}

ln (e^{- k \cdot t}) = ln (\frac{1 - c}{1 + c})

- k \cdot t = ln (\frac{1 - c}{1 + c})

Die angegebene Lösung lautet:

t = {(ln (\frac{1 + c}{1 - c}))}^{\frac{1}{k}}

EDIT: Lösung verbessert.

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16:41 Uhr, 19.08.2014

Die angegebene Lösung stimmt so nicht ganz.
Entweder ist ein Minuszeichen verloren gegangen, oder im Bruch müssen Zähler und Nenner vertauscht werden.

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16:42 Uhr, 19.08.2014

Sorry, da habe ich mich wohl verschrieben. In der Lösung sind Zähler und Nenner vertauscht. Aber wie bekomme ich das

\frac{1}{k}

was ja

- k

entspricht in den Exponenten?

EDIT: Ach, bin ich blöd. Die gleiche Logarithmusregel rückwärts, oder?

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16:45 Uhr, 19.08.2014

Du kennst doch sicher die Rechenregeln für Logarithmen!?

ln (a^{x}) = . .

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16:46 Uhr, 19.08.2014

Ja, die habe ich ja vorhin sogar angewendet, ich Dummkopf :-D)

Dann ziehe ich jetzt mal das

k

rüber und bringe dann noch die Vorzeichen in Ordnung.

EDIT: PERFEKT - jetzt habe ich es! Vielen Dank für deine schnelle und kompetente Hilfe! :-)

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16:50 Uhr, 19.08.2014

Ich gratuliere Dir zu Deiner Rechentechnik.
Da könnten sich viele andere Schüler eine Scheibe von abschneiden!

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16:52 Uhr, 19.08.2014

Aww, vielen Dank! Freut mich, das zu hören! Oftmals ist es der Ansatz, der mir am schwersten fällt :-D) Danach läuft es eigentlich ziemlich gut.

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