Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Globale Extrema im Mehrdimensionalen

Globale Extrema im Mehrdimensionalen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Extrema, Funktion, mehrdimensionale Analysis, Partielle Differentialgleichungen

bibib3 aktiv_icon

21:47 Uhr, 19.04.2015

Ich soll die lokalen Extrema der Funktion

f (x, y) = (4 \cdot x^{2} + y^{2}) \cdot e^{- x^{2} - 4 \cdot y^{2}}

bestimmen und anschließend zeigen, ob die lokalen Extrema auch global sind.

Ich habe mir die kritischen Punkte ausgerechnet und erhalte:

(0,0), (\frac{0,1}{2}), (0, - \frac{1}{2}), (1,0), (- 1,0)

Meine Frage ist nun:
Wie kann ich zeigen, ob diese lokalen Extrema auch global sind?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Extrema / Terrassenpunkte

DrBoogie aktiv_icon

21:49 Uhr, 19.04.2015

"Wie kann ich zeigen, ob diese lokalen Extrema auch global sind?"

Durch Vergleich der lokalen Extrema und durch Analyse des Verhaltens der Funktion im Unendlichen.
Globales Maximum (Minimum) ist einfach der größt(kleinst)mögliche Wert der Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich.

bibib3 aktiv_icon

21:58 Uhr, 19.04.2015

Also in obigem Fall:

lim f (x,0) = lim 4 \cdot x^{2} \cdot e^{- x^{2}} = 0

und

lim f (0, y) = lim y^{2} \cdot e^{- 4 \cdot y^{2}} = 0

Das heißt dann dass alle aufgezählten Extrema auch global sind?

DrBoogie aktiv_icon

22:07 Uhr, 19.04.2015

"Das heißt dann dass alle aufgezählten Extrema auch global sind?"

Wenn ein lokales Minimum z.B.

0

ist und ein anderes

2

, was denkst Du, können sie beide global sein? ;-)

Du musst die Werte vergleichen.

bibib3 aktiv_icon

22:31 Uhr, 19.04.2015

Achja stimmt das geht doch gar nicht :-D)
Also weil die Funktion keinen negativen Wert annehmen kann (wegen

x^{2}

und

y^{2}),

ist die Funktion nach unten durch

(0,0)

beschränkt, dh. dann dass es ein globales Minimum gibt und zwar im Punkt

(0,0)

.
Kann das stimmen?
Jetzt weiß ich nur nicht wie ich beim globalen Maximum vorgehen soll?
Kommt dafür der Punkt

(0, \frac{1}{2})

in Frage?

ledum aktiv_icon

23:13 Uhr, 19.04.2015

Hallo
Berechne die Werte der Funktion an den Maxima, dann nimm das höchste, entweder ist es das globale oder die fkt wird für

x, y

gegen unendlich größer.
Gruß ledum

DrBoogie aktiv_icon

07:11 Uhr, 20.04.2015

"(0,0) beschränkt, dh. dann dass es ein globales Minimum gibt und zwar im Punkt (0,0).
Kann das stimmen?"

Ja, das ist korrekt.

bibib3 aktiv_icon

09:51 Uhr, 20.04.2015

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

1229068

1228993

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?