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Goldenes Dreieck Basis berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreiecksberechnung, Geometrie

goldie98 aktiv_icon

10:23 Uhr, 12.10.2017

Guten Morgen,

ich muss für die Uni ein Übungsblatt lösen, darunter ist folgende Aufgabe:

"Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck. Der von seinen gleich langen Seiten der Länge 1 eingeschlossene Winkel betrage

\frac{π}{5}

.

Berechnen Sie die Länge

s

der dritten Seite des gleichschenkligen Dreiecks.

Tipp:Zeichnen Sie die Winkelhalbierende am Basiswinkel und wenden Sie den Strahlensatz auf die entstehenden ähnlichen Dreiecke an."

Durchs Aufzeichnen bin ich darauf gekommen, dass das beschriebene Dreieck ein goldenes Dreieck 1. Ordnung ist und durch das Einzeichnen der Winkelhalbierenden ein goldenes Dreieck 2. Ordnung entsteht.

Mein Problem ist, dass ich absolut keine Ahnung habe, wie ich den Strahlensatz darauf anwenden soll. Ich weiß, dass die Schenkel von den entstandenen Teildreiecken genauso groß wie die Basis des ursprünglichen Dreiecks sind. Aber wie komme ich auf die Länge?

Ich hoffe Ihr könnt mir irgendwie helfen einen Ansatz zu finden.

Mit freundlichen Grüßen

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Atlantik aktiv_icon

11:02 Uhr, 12.10.2017

Schau mal hier:

http//haftendorn.uni-lueneburg.de/geo/grund/golden/golden_dreieck.pdf

mfG

Atlantik

goldie98 aktiv_icon

11:45 Uhr, 12.10.2017

Vielen Dank für Deine Antwort.

In der PDF finde ich folgende Formel:

\frac{a}{c} = \frac{c}{x} \land x = a - c \Leftrightarrow (a - c) a =

c²

\Rightarrow c = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1) \cdot a

Den ersten Teil verstehe ich noch.

\frac{a}{c} = \frac{c}{x}

folgt aus dem Strahlensatz und

x = a - c

sieht man in der Skizze (kann man das auch irgendwie mathematisch erklären?)

Wie komme ich aber auf den Teil

(a - c) a =

c²

\Rightarrow c = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1) \cdot a

?
Durch meine Skizzen habe ich gesehen, dass die Seite AC im goldenen Schnitt geteilt wird, aber wie komme ich auf die Formel?

Max

ledum aktiv_icon

12:06 Uhr, 12.10.2017

Hallo

\frac{a}{c} = \frac{c}{x}

und x=a−c
1. Gleichung:

a \cdot x = c^{2}, x

einsetzen
Begründung für

x = a - c :

das Rest Dreieck BDC ist gleichschenklig
Gruß ledum

goldie98 aktiv_icon

13:15 Uhr, 12.10.2017

Vielen Dank, ich konnte die Formeln jetzt besser nachvollziehen.

\frac{a}{c} = \frac{c}{x}

folgt aus dem Strahlensatz, und dass

c = a - x

ist ergibt sich aus der Skizze.
Nun habe ich

c = a - x

nach

x

umgestellt,

\frac{c}{x} = \frac{a}{c}

nach c², und die erste Formel in die zweite eingesetzt. Dadurch erhalte ich c²

= a (a - c)

.

Ich verstehe jetzt aber nicht den Schritt von dieser Formel zu

c = \frac{1}{2} (\sqrt{5}

−

1)

⋅ a
Kann mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Gruß

Max

Atlantik aktiv_icon

14:21 Uhr, 12.10.2017

c^{2} = a \cdot (a - c)

c^{2} = a^{2} - a \cdot c

c^{2} + a \cdot c = a^{2}

. .

c =

mfG

Atlantik

goldie98 aktiv_icon

14:52 Uhr, 12.10.2017

oweia ich stand ganz schön auf dem Schlauch...

Also

c^{2} = a^{2} - a \cdot c

lässt sich umformen zu

c^{2} + a \cdot c - a^{2} = 0

In der quadratischen Lösungsformel ist das

c = \frac{a}{2} \pm \sqrt{5} \frac{a}{2}

Ich komme jetzt aber auf

c = \frac{a}{2} (1 - \sqrt{5}),

was ja nicht der Formel entspricht die ich herleiten will.

Ich bin das jetzt mehrmals durchgegangen und finde keinen Fehler...

Grüße

Max

ledum aktiv_icon

15:22 Uhr, 12.10.2017

Hallo
deine Lösung hat falsche Vorzeichen
c^2+ac-a^2=0 hat die Lösungen

c = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{5 \frac{a^{2}}{4}}

also

\frac{a}{2} \cdot (\sqrt{5} - 1)

statt der blöden pq Formel eben quadratische Ergänzung benutzen (wie die mal hergeleitet wurde!) dann passieren so dumme Fehler nicht.
anderer Weg, Lösung in die Gl. einsetzen und merken, dass sie falsch ist.
Gruß ledum

goldie98 aktiv_icon

15:57 Uhr, 12.10.2017

Vielen Dank, jetzt blick ich durch.

Gruß

Max

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