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Grad eines Polynoms bei zwei komplexen Nullstellen
Universität / Fachhochschule
Komplexe Analysis
Tags: Komplexe Analysis
 
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Hallo Zusammen! Ich häng hier grad an einer Aufgabe und komm da irgendwie nicht weiter. Man hat zwei komplexe Zahlen z1 = 1 + i und z2 = 2 - i Die Aufgabe lautet: Welchen Polynomgrad n > 0 muss ein Polynom Pn mit reellen Koeffizienten mindestens haben, wenn es die Nullstellen z1 und z2 besitzt?
Meine Überlegung war nun, dass der Realteil der komplexen Zahlen ja die Nullstellen darstellt. Also 1 und 2. Man kann dann ja eine quadratische Funktion x² mit Koeffizienten (innerhalb eines Polynoms) doch so verschieben, dass die Funktion die beiden Nullstellen 1 und 2 beinhaltet oder? Demnach wäre der Polynomgrad ja n = 2 Die Richtige Lösung der Aufgabe lautet aber n = 4. Kann mir jemand kurz erklären wo mein Fehler liegt? Vielen lieben Dank schonmal vorab und viele Grüße
Bastian Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, wenn ein Polynom mit reellen Koeffizienten eine komplexe Nullstelle hat, dann ist auch (komplex konjugierte Zahl). Wenn also mindestens die beiden angegebenen Nullstellen haben soll, dann muss es insgesamt mindestens 4 Nullstellen haben, daher grad(P) . Gruß pwm |
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vielen dank erstmal! ich hab da scheinbar einen gedankenfehler. vielleicht kannst du mir das nochmal kurz erklären? z = 1 + i ist die erste nullstelle. du sagst, dass dann das kunjugierte z die zweite nullstelle darstellt. das ist doch dann 1 - i oder? die haben doch beide auf der x achse den wert 1 (also die nullstelle 1) ist es falsch, dass nur der realteil (also 1) die nullstelle darstellt? |
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Hi bastianp01, ja, das ist falsch. Z.B. das Polynom hat die Nullstellen und , jedoch nicht die Nullstelle . Wäre auch nicht logisch, da ein Polynom (das nicht das Nullpolynom ist) nur eine endliche Anzahl (nämlich ) von Nullstellen besitzen kann. Über zerfällt jedes reelle Polynom in Linearfaktoren. Wären nun die Realteile der komplexen Nullstellen ebenfalls (reelle) Nullstellen, dann hätte man entweder mehr als Nullstellen, oder jedes reelle Polynom zerfällt über in Linearfaktoren, was in jedem Fall ein Widerspruch zur Theorie ist. Gruß Sina |
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hi sina
vielen dank für deine antwort. sorry wenn ich nochmal nachfrage - bin neu auf dem thema komplexe zahlen du sagst dass das polynom t2+1 die nullstellen bei i und -i hat. wo würden die sich denn in einem koordinatensystem darstellen? ich dachte der wert von i stellt die "y koordinate" einer komplexen zahl dar. könntest du mir das nochmal kurz erklären? meine bücher helfen mir da irgendwie nich weiter und da ich ein fernstudium mache kann ich auch sonst keinen fragen :-) |
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Komplexe Nullstellen treten naturgemäss stets paarweise als konjugiert komplexe Nullstellen auf. |
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ah ok. also dass eine komplexe nullstelle immer mit ihrer konjugierten nullstelle einher geht und dass es deswegen 4 nullstellen in der aufgabe gibt, die ich oben beschrieben hab, hab ich nun verstanden. wenn ich jetzt aber irgend eine komplexe zahl als nullstelle hab; zum beispiel z := 1 + 2i. dann ist das kunjugierte z := 1 - 2i auch eine nullstelle (hab das in der zeichnung mal B genannt). wie und wo würde ich das denn in ein koordinatensystem einzeichnen? ich hab versucht die beiden komplexen zahlen mal so, wie ichs gelernt hab ich das koordinatensystem einzuzeichnen. vielleicht kann ich so meinen gedankenfehler etwas besser darstellen. wie kann denn Z oder B eine Nullstelle darstellen, wenn sie gar nicht auf der x achse liegen? |
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Die Heimtücke an komplexen Nullstellen ist, dass man sie in dem zweidimensionalen Koordinatensystem eben nicht darstellen kann. Wenn du aber die Werte der komplexen Nullstellen als x in die Funktionsgleichung einsetzen würdest ... (wobei alle Koeffizienten auch komplexe Zahlen sind) ... wird rauskommen. aber wie nun kommst du an die Koeffizienten? Da Du die Nullstellen ja kennst, kannst du diese in die Linearfaktorschreibweise einsetzen und ausmultiplizieren: |
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danke dass du dir die zeit genommen hast! ich hab mich schon die ganze zeit gefragt warum ich nicht verstehe, wie die nullstellen im koordiantensystem darzustellen sind ... funktioniert die ermittlung der koeffizienten so auch, wenn es reelle und keine komplexen koeffizienten sind? laut aufgabenstellung handelt es sich um ein polynom mit reellen koeffizienten.
vielen dank nochmal. mit den informationen kann ich die aufgabe jetzt als beantwortet betrachten, da ja "nur" nach dem grad des polynoms gefragt wurde. |
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Es gibt unendlich viele Polynomfunktionen 4.Grades, die relle Koefizienten und komplexe Nullstellen haben. Vielleicht erinnerst du Dich noch an Aufgaben in der Mittelstufe, bei denen quadratische Gleichungen "keine Lösung" hatten? Alle diese haben konjugiert komplexe Nullstellen! Vielleicht erinnerst du dich auch noch an einige Aufgaben, bei denen ein Polynom 4.Grades auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt wurde ... wenn die "nicht lösbar" war, hatte sie wohl 4 komplexe (davon je 2 konjugiert) Nullstellen. Es ist nicht wirklich so "komplex" wie es aussieht ... |
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ok - der zusammenhang war mir bisher noch gar nicht klar
vielen dank nochmal für deine hilfe.
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