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Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

Randolph Esser aktiv_icon

18:31 Uhr, 13.11.2026

Hallo,

man untersuche, ob der Grenzwert

lim_{n \to \infty} \sqrt{n} (\sqrt[n]{n} - 1)

existiert und berechne ihn gegebenenfalls.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Randolph Esser aktiv_icon

19:19 Uhr, 13.11.2026

Ich weiß, dass der Limes 0 ist,
denn

\sqrt[n]{n} - 1

geht gegen

0,

und das schneller als

\sqrt{n}

gegen

\infty,

salopp gesagt.
Aber ich habe Probleme damit,
eine formal korrekte Antwort abzusetzen.
Ich kann nur ein wenig rumrechnen,

n^{\frac{1}{2}} (n^{\frac{1}{n}} - 1) = n^{\frac{1}{n} + \frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}

= n^{\frac{n + 2}{2 n}} - n^{\frac{1}{2}} = n^{\frac{1 + \frac{2}{n}}{2}} - n^{\frac{1}{2}},

und argumentieren, dass

\frac{1}{n}

bzw.

\frac{2}{n}

gegen 0 geht,
was natürlich unbefriedigend ist...

Mathe45

19:36 Uhr, 13.11.2026

Dein Term hat die Form

a \cdot b

mit

lim a = \infty

und

lim b = 0

a \cdot b = \frac{b}{\frac{1}{a}}

Damit kann man L*Hospital ( mehrfach ) anwenden.

Randolph Esser aktiv_icon

19:54 Uhr, 13.11.2026

Danke, Mathe45. Hier eine Lösung ohne L"Hospital:

Sei

\frac{1}{2} < a < 1

.

Betrachte

n^{\frac{1}{n}} - 1 \leq \frac{1}{n^{a}} \Leftrightarrow n \leq {(\frac{1}{n^{a}} + 1)}^{n} \Leftrightarrow ln (n) \leq n ln (\frac{1}{n^{a}} + 1)

.

Unter Verwendung von

ln (1 + x) \geq x - \frac{x^{2}}{2}

für alle

x > 0

findet man

n ln (\frac{1}{n^{a}} + 1) \geq n (\frac{1}{n^{a}} - \frac{1}{2 n^{2 a}}) = n^{1 - a} - \frac{1}{2} n^{1 - 2 a}

mit

1 - a > 0, 1 - 2 a < 0

und somit

\frac{ln (n)}{n^{1 - a}} \to 0 (n \to \infty)

sowie

\frac{1}{2} n^{1 - 2 a} \to 0 (n \to \infty)

.

Also gibt es ein

N \in ℕ,

sodass

n^{\frac{1}{n}} - 1 \leq \frac{1}{n^{a}}

für alle

n \geq N

.

Für solche

n

gilt also

0 \leq n^{\frac{1}{2}} (n^{\frac{1}{n}} - 1) \leq \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{a}} = n^{\frac{1}{2} - a}

mit

\frac{1}{2} - a < 0,

und mit dem Quetschlemma folgt

n^{\frac{1}{2}} (n^{\frac{1}{n}} - 1) \to 0 (n \to \infty)

Randolph Esser aktiv_icon

22:49 Uhr, 13.11.2026

ln (1 + x) \geq x - \frac{x^{2}}{2}

für alle

x \geq 0

folgt übrigens aus

ln (1) = 0

und

(ln (1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2})' = \frac{1}{1 + x} - 1 + x = \frac{x^{2}}{1 + x} \geq 0

für alle

x \geq 0

.

Wenn jemand noch andere Beweise für die Aufgabe hat,
fühle er sich frei, diese hier zu zeigen...

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