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Grenzwert einer alternierenden Exponentialreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Alternierend, Exponentialreihe, Folgen und Reihen

mathem94 aktiv_icon

13:24 Uhr, 15.09.2015

Hallo,

ich habe wieder eine Frage. Ich soll den Grenzwert der Reihe

\sum_{k = 2}^{n} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{{(\frac{π}{2})}^{2 k}}{(2 k)!}

berechnen. Mir ist die Ähnlichkeit mit der Exponentialreihe aufgefallen und probiert habe ich folgendes:

\sum_{k = 2}^{n} {(- 1)}^{k} \cdot \frac{{(\frac{π}{2})}^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 2}^{n} \frac{{(- \frac{π^{2}}{4})}^{k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{n - 2} \frac{{(- \frac{π^{2}}{4})}^{k + 2}}{(2 (k + 2))!} = \frac{π^{4}}{16} \cdot \sum_{k = 0}^{n - 2} \frac{{(- \frac{π^{2}}{4})}^{k}}{(2 k + 4)!}

= \frac{π^{4}}{16} \cdot \sum_{k = 0}^{n - 2} \frac{{(- \frac{π^{2}}{4})}^{k}}{(2 k + 4) \cdot (2 k + 3) \cdot (2 k + 2) \cdot (2 k + 1) \cdot 2 k!}

Ab hier komme ich nicht weiter. Ich bräuchte im Nenner ein

k!,

aber das kriege ich nicht so umgeformt.

Könnt ihr mir vllt einen Tipp geben?

Vielen Dank,
mathem94

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

DrBoogie aktiv_icon

13:40 Uhr, 15.09.2015

Kennst Du die Reihe für Kosinus?

de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus

mathem94 aktiv_icon

13:48 Uhr, 15.09.2015

Hallo,

danke für die schnelle Antwort, das löst meine Aufgabe natürlich sofort.

Ich brauche wohl noch eine Weile bis ich ein Gefühl für diese bekannten Reihen kriege.

Mfg,
mathem94

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