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Grenzwert rekursiver Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: lim

Marcel11 aktiv_icon

21:56 Uhr, 21.09.2016

Guten Tag,

Es geht um folgende rekursive Folge: an+1= 2/(1+an). Mit

a 1 = 0

Diese soll konvergieren. laut Lösung gegen 1. In meinen Augen ist doch allein das 2. Folgenglied schon größer.

0 + 1 = \frac{2}{1 + 0} = 2

Habeich hier einen totalen Denkfehler ?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

michaL aktiv_icon

22:11 Uhr, 21.09.2016

Hallo,

> Es geht um folgende rekursive Folge:

a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_{n}}

$. Mit

a_{1} = 0

>
> Diese soll konvergieren. laut Lösung gegen 1. In meinen Augen ist doch allein das 2. Folgenglied schon größer.
>
> [Unfug entfernt]

\frac{2}{1 + 0} = 2

>
> Habeich hier einen totalen Denkfehler ?

Offenbar. Du scheinst zu glauben, dass eine Folge nur dann konvergieren könne, wenn ihre Folgeglieder nicht größer als der Grenzwert sind. ("In meinen Augen ist doch allein das 2. Folgenglied schon größer.")
Das ist ziemlicher Quatsch. (Woher hast du den?)
Bedenke, dass du jede konvergente Folge hernehmen könntest, als neues Folgeglied vor alle anderen irgendeinen Wert setzen kannst (z.b. das Doppelte des Betrags des Grenzwertes) und die neue Folge ist immer noch konvergent.
Nein, auch fallende Folgen können konvergieren.

Der Standardweg ist der, allgemein erst einmal zu zeigen, dass die Folge konvergiert. Ihr Grenzwert ergibt sich dann aus dem Rekursiongesetz.
In diesem Fall betrachte die Teilfolgen der Glieder mit geradem bzw. ungeradem Index. Diese sind jeweils monoton und beschränkt, also konvergent. Dass sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, ist dann leicht gezeigt.

Mfg Michael

Respon

22:13 Uhr, 21.09.2016

Das ist kein Widerspruch.
siehe Grafik

Marcel11 aktiv_icon

21:39 Uhr, 22.09.2016

Ok ich denke ich bin auf diesen Fehlgedanken gekommen, weil ich mich sehr lange mit konvergenten Folgen beschäftigt habe, die so "kurvenförmig" zum Beispiel an der 1 kratzen aber sie niemals überschreiten.

Jetzt grafisch mal angeschaut macht das natürlich extrem sinn.

Das Problem hierbei ist, ich werde es in einer Klausur ohne Taschenrechner lösen müssen
und habe nur sehr begrenzt zeit.
Wenn ich in diesem Fall Folgenglieder untersuche, die mir eine Konvergenz andeuten, sind dies ja Glieder im oberen Bereich. Ab

10

ca. kann man ja eine klare Tendenz zur konvergenz zu 1 erkennen.

Gibt es ein Schnellverfahren auch für nicht rekursive Folgen um das Grenzverhalten zu untersuchen OHNE eine möglichst gro0e/kleine Zahl einzusetzen bzw. fortgeschrittene Folgenglieder zu untersuchen ?

Respon

21:46 Uhr, 22.09.2016

Wenn du schon weißt, dass die Folge konvergiert, ist das Bestimmen des Grenzwertes leicht.
Sei a der Grenzwert, dann gilt

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

aber auch

lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = a

a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_{n}} \Rightarrow a = \frac{2}{1 + a} \Rightarrow a = . .

.

Es gibt eine ganze Reihe von Konvergenzkriterien:

michaL aktiv_icon

22:46 Uhr, 22.09.2016

Hallo,

> Gibt es ein Schnellverfahren auch für nicht rekursive Folgen um das Grenzverhalten zu untersuchen OHNE eine
> möglichst gro0e/kleine Zahl einzusetzen bzw. fortgeschrittene Folgenglieder zu untersuchen ?

Zum Glück gibt es das. Ich hatte in meinem posting auch erwähnt, wie es in diesem Fall geht.
Es gilt ja

a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_{n}} = \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + a_{n - 1}}} = \frac{2 (1 + a_{n - 1})}{1 + a_{n - 1} + 2} = 2 (1 - \frac{2}{3 + a_{n - 1}})

Das ist das Bildungsgesetz für die Berechnung des übernächsten Folgegliedes.
Es gilt

a_{n + 3} \geq a_{n + 1} \overset{}{\Leftrightarrow} 2 (1 - \frac{2}{3 + a_{n + 1}}) \geq 2 (1 - \frac{2}{3 + a_{n - 1}}) \overset{}{\Leftrightarrow} a_{n + 1} \geq a_{n - 1}

.
Umgekehrt gilt

a_{n + 3} \leq a_{n + 1} \overset{}{\Leftrightarrow} a_{n + 1} \leq a_{n - 1}

.
Die Teilfolge der Glieder mit geradem Index ist fallend, da

a_{2} = 2 \geq \frac{6}{5} = a_{4}

gilt.
Die Teilfolge der Glieder mit ungeradem Index ist steigend, da

a_{1} = 0 \leq \frac{2}{3} = a_{3}

gilt.

Die Folge der Glieder mit geradem Index ist durch 1 nach unten beschränkt, was ebenfalls eine Induktion (wie im Falle der Monotonie) zeigt:

1 \leq a_{n + 1} \overset{}{\Leftrightarrow} 1 \leq 2 (1 - \frac{2}{3 + a_{n - 1}}) \overset{}{\Leftrightarrow} 1 \leq a_{n - 1}

und auch

1 \geq a_{n + 1} \overset{}{\Leftrightarrow} 1 \leq 2 (1 - \frac{2}{3 + a_{n - 1}}) \overset{}{\Leftrightarrow} 1 \geq a_{n - 1}

(Hier ist natürlich noch etwas zu rechnen.)

Damit sind beide Teilfolgen monoton und beschränkt, also konvergent.
Dass sie den gleichen Grenzwert haben, ergibt sich aus der gleichen(!) Rekursionsgleichung für beide Teilfolgen UND der Tatsache, dass die Folgeglieder niemals negativ sind (was ebenfalls induktiv gezeigt werden muss).

Damit beweist man den gleichen Grenzwert 1.

So, stellt sih nur (wie immer) die Frage, wie man auf so etwas allein kommt, gell?

Mfg Michael

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