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Grenzwert von (1-1/n)^n-> 1/e beweisen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

18:37 Uhr, 15.11.2009

Hallou

könnte mir jemand bitte weiter helfen, ich muss beweisen, dass

{(1 - \frac{1}{n})}^{n}

den Grenzwert

e

besitzt, bzw

{(1 + \frac{2}{n})}^{n}

den Grenzwert

e^{2},

und ich hab leider absolut keine ahnung, habs mit Bernoulli Ungleichung versucht aber komm da auch nicht weiter.

Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen!

lg raina

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

m-at-he

19:30 Uhr, 15.11.2009

Hallo,

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to e

\Rightarrow \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}} \to \frac{1}{e}

\Rightarrow \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}

= \frac{1}{{(\frac{n + 1}{n})}^{n}}

= {(\frac{n}{n + 1})}^{n}

= {(\frac{n}{n + 1})}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{n}

= {(\frac{n + 1 - 1}{n + 1})}^{n + 1} \cdot (1 + \frac{1}{n})

= {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n + 1} \cdot (1 + \frac{1}{n})

Der Grenzwert des ersten Terms ist

\frac{1}{e},

der des zweiten Faktors im letzten Term ist 1. Wenn der Grenzwert von

{(1 - \frac{1}{n})}^{n}

exisitiert, dann ist er gleich dem Grenzwert von

{(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n + 1}

und muß, damit die Gleichung stimmt, gleich

\frac{1}{e}

sein.

{(1 + \frac{2}{n})}^{n} = {(1 + \frac{1}{\frac{n}{2}})}^{\frac{n}{2} \cdot 2} = {({(1 + \frac{1}{\frac{n}{2}})}^{\frac{n}{2}})}^{2} \to e^{2}

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