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Größtmögliches Rechteck unter einer Parabel

Schüler Berufsschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe

anonymous

22:50 Uhr, 09.05.2010

Hallo,

ich probiere mich nunmehr seit über einer Stunde an einer Extremwertaufgabe und beginne langsam zu zweifeln ob diese überhaupt lösbar ist. Hier habe ich die Aufgabe (wegen der Skizze) fotografiert: hier klicken

Hier die Schritte die ich bis jetzt gemacht habe:

Hauptfunktion: F=a*b
Nebenbedingung 1: a=x
Nebenbedingung 2: b=f(x)
Zielfunktion: F=x*(f(x))

$F = x \cdot (\frac{1}{25} x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{9}{5})$
$F = \frac{1}{25} x^{5} - \frac{2}{3} x^{3} + \frac{9}{5} x$

$F^{'} = \frac{1}{5} x^{4} - 2 x^{2} + \frac{9}{5}$

Dann versuche ich die Nullstellen zu berechnen und genau hier komme ich dann auch nicht weiter. Ist mein bisheriger Ansatz denn richtig? Wenn ja, wie rechne ich denn an dieser Stelle weiter bzw. was genau mache ich falsch?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

olli1973 aktiv_icon

22:59 Uhr, 09.05.2010

Hallo,

ja dein Ansatz ist bis hierhin richtig, ich hätte die Fläche aber nicht

F

sondern A genannt,

F (x)

kann eine ganz andere Bedeutung haben.

Du hast jetzt die 1. Ableitung und die soll null sein:

\frac{1}{5} \cdot x^{4} - \frac{2}{3} \cdot x^{2} + \frac{9}{5} = 0

jetzt ersetzt du

x^{2}

mit

z,

also

z = x^{2}

\frac{1}{5} \cdot z^{2} - \frac{2}{3} \cdot z + \frac{9}{5} = 0 | \cdot 5

z^{2} - \frac{10}{3} \cdot z + 9 = 0

Und jetzt pq-Formel

anonymous

23:05 Uhr, 09.05.2010

Ah stimmt, F(x) ist eigentlich die Stammfunktion. Daran habe ich nicht gedacht. Diese Regel das ich $x^{2}$ eine andere Variable zuweisen kann kannte ich bisher nicht.

Wenn ich jetzt aber versuche die Nullstellen zu berechnen (mit der ABC-Formel) bekomme ich keine heraus, da D=-36. Dann komme ich an dieser Stelle wieder nicht weiter.

olli1973 aktiv_icon

23:30 Uhr, 09.05.2010

Ups, meine 1. Ableitung war falsch, also nochmal:

0 = (\frac{1}{5}) \cdot z^{2} - 2 z + (\frac{9}{5}) | \cdot 5

0 = z^{2} - 10 z + 9

z_{12} = - (- \frac{10}{2}) \pm \sqrt{5^{2} - 9}

= 5 \pm \sqrt{16} = 5 \pm 4

z_{1} = 1

z_{2} = 9

Jetzt zurückersetzen, also resubstituieren:

x^{2} = z

x_{1} = \sqrt{z_{1}} = 1

x_{2} = - \sqrt{z_{1}} = - 1

x_{3} = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{9}

x_{4} = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{- 9}

Die richtige Lösung ist

1,

weil lt. Skizze ein

X

gesucht wird im positiven Bereich aber kleiner als die Nullstelle bei

1,84

.

Man könnte natürlich ein Viereck mit

x = \sqrt{9}

konstruieren, das schneidet dann aber den Graphen an einer anderen Stelle, würde also nicht mehr wie in der Aufgabe dargestellt wirklich unter der Kurve liegen, außerdem würde das Viereck dann nicht mehr wie verlangt im 1. Quadranten liegen.

anonymous

23:34 Uhr, 09.05.2010

Ok, danke für die schnelle und ausführliche Hilfe. So habe ich es verstanden :)

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