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Herleitung Integral Parameterdarstellung Fläche???

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Tags: Bogenlänge einer Kurve, Fläche, Herleitung, Parameterdarstellung

Nina84 aktiv_icon

19:35 Uhr, 19.05.2008

Hallo Zusammen,

ich benötige unbedingt eure Hilfe.

Ich schreibe gerade eine Hausarbeit, in der es um die Parameterdarstellung geht.
In der mir vorliegenden Literatur habe ich jeweils Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes unterhalb einer Kurve sowie für die Bestimmung der Bogenlänge gefunden.

A = \int (y (t) \cdot x' (t), d t)

Integral von a bis

b

B = \int {(x' (t))}^{2} + {(y' (t))}^{2}, d t)

hier ist jeweils "Hoch 2" gemeint.

: -)

Integral von a bis

b

Kann mir jemand erklären, wie ich diese Formeln herleiten kann? Stehe hier wirklich auf dem Schlauch!

: -)

Über Eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.

Liebe Grüße
Nina

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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pwmeyer aktiv_icon

10:40 Uhr, 20.05.2008

Hallo,

Deine erste Formel scheint mir irgenwie unvollständig / falsch?. Ist ein Beweis gefragt oder eine plausible Motivation? Wie steht es mit Vorkenntnissen?

In Deiner zweiten Formel fehlt die Wurzel. Hier ist die Idee, dass ein kurzes Bogenstück näherungsweise durch die Tangente ersetzt wird, also

[x (t), y (t)], t = t_{0} . . t_{0} + δ t

durch die Strecke durch die Punkte

[x (t_{0}), y (t_{0})]

und

[x (t_{0}) + x' (t_{0}) \cdot δ t, y (t_{0}) + y' (t_{0}) \cdot δ t]

Die Länge dieser Strecke ist nach Pythagoras gleich

\sqrt{x' {(t_{0})}^{2} + y' {(t_{0})}^{2}} \cdot δ t

Diese Beiträge werden längs der Kurve aufsummiert. Im Grenzwert

δ t \to 0

geht die Summe in das entsprechende Integral über.

Das ist - wie gesagt - nur eine Plausibilitäts-Überlegung.

Gruß pwm

Nina84 aktiv_icon

19:22 Uhr, 20.05.2008

Hallo pwm,

vielen Dank für Deine schnelle Antwort.

Deine Antwort für die Bogenlänge habe ich verstanden. Vielen Dank, so kann ich mir das erklären.

Bei der Formel für die Fläche habe ich folgende Quelle:

http//members.chello.at/gut.jutta.gerhard/zykl1.htm

Da steht

u . a . :

A = \int (y d x) = \int (y (t) x' (t), d t) = ...

A = \int (y d x

) ist klar, aber den nächsten Schritt verstehe ich nicht.

Wäre wirklich super,wenn du mir diesen erklären könntest.

Vielen Dank im Voraus.

: -)

Gruß
Nina

pwmeyer aktiv_icon

08:31 Uhr, 21.05.2008

Hallo,

ich hatte die Formel in einem anderen Zusammenhang gesehen und deshalb für falsch gehalten. Auf der zitierten WEB-Seite handelt es sich um eine Anwendung der Substitutionsregel: Wenn eine Kurve durch eine Funktion

y = f (x)

definiert ist mit

y (x) \geq 0,

dann ist die Fläche unter der Kurve durch das Integral

A = \int_{a}^{b} f (x) d x

zu berechnen. Hier sind die Werte

f (x)

aber nicht (explizit) gegeben; sondern es ist

f (x (t)) = y (t)

(Zu jedem Wert

x

auf der Abszisse gehört ein bestimmtes

t

und der Kurvenpunkt hat die y-Koordinate

f (x) = y (t)

) Wir können die Substitutionsregel benutzen und die neue Variable

t

einführen:

A = \int f (x (t)) \cdot x' (t) d t = \int y (t) \cdot x' (t) d t

mit den entsprechenden Grenzen für

t

Nina84 aktiv_icon

21:07 Uhr, 27.05.2008

Hey klasse,

vielen Dank für Deine Antwort. Du hast mir sehr geholfen.

Vielleicht komme ich nochmal auf Dich zurück wenn ich nicht mehr weiterkomme

: -)

Ciao ciao

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