Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Herleitung der Quotientenregel

Herleitung der Quotientenregel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gebrochen-rationale Funktionen, Quotientenregel

Dutzi aktiv_icon

20:01 Uhr, 18.08.2009

hallo^^
also, wir machen bei uns im Mathe Lk momentan die Ableitung von gebrochen rationalen Funktionen, die man ja auch Quotientenregel nennt.
Nun möchte ich aber des Verständnisses halber gerne auch wissen, wie die Herleitung dieser Regel ist. Die einzige Seite, bei der ich hilfreiche Infos gefunden hab, war Wikipedia, allerdings setzt es bei mir da schon direkt am Anfang aus. Die Funktion heißt ja zunächst

u \frac{x}{v} (x) = f (x)

das da dann ein δ hinzugefügt wird (wegen dem Steigungsdreieck und so weiter), ist auch noch klar, aber wie kommen die jetzt von
Δ

(\frac{x}{y}) = (u +

Δu)

/ (v +

Δv) –

\frac{u}{v}

Auf

[(u +

Δu)*v

- u \cdot (v +

Δv)

\frac{]}{(v +}

Δv)*v

]

???????????
Den Schritt kann ich mir irgendwie nicht erklären…..
Wäre super dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte!!!

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Quotientenregel
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

niklasfi aktiv_icon

23:06 Uhr, 18.08.2009

Die Quotientenregel ist eine kombination aus Produkt und Kettenregel:

f (x) = \frac{g (x)}{h (x)} = g (x) \cdot {(h (x))}^{- 1}

Jetzt hast du nur noch ein Produkt, was du mit der Produktregel lösen kannst:

(u \cdot v) ʹ = u ʹ \cdot v + v ʹ \cdot u

(das brauchte ich gerade mal, habs so lange nicht mehr benutzt ;-))

(g (x)) ʹ = g ʹ (x)

(h (x))^{- 1}) ʹ = - 1 \cdot (h (x))^{- 2} \cdot h ʹ (x)

f ʹ = g ʹ (x) \cdot {(h (x))}^{- 1} + \cdot g (x) \cdot (- 1) \cdot (h (x))^{- 2} * h ʹ (x)

= \frac{g ʹ (x)}{h (x)} - \frac{g (x) \cdot h ʹ (x)}{(h (x))^{2}}

Auf einen nenner Bringen:

= \frac{g ʹ (x) \cdot h (x) - g (x) \cdot h ʹ (x)}{(h (x))^{2}}

Und da hast du deine Quotientenregel:-)

Dutzi aktiv_icon

17:01 Uhr, 19.08.2009

⊙ O

so einfach ist das??? ich brauchte nur die beiden anderen Regeln ?!?
ohhh neeeee.... *schäm*^^
habs jetzt dann verstanden!!^^
vielen lieben dank!!!!!

BjBot aktiv_icon

17:51 Uhr, 19.08.2009

Es geht sogar noch einfacher:

Dutzi aktiv_icon

22:53 Uhr, 22.08.2009

das ist eigentlich wirklich alles einfach (oder zumindest nicht unüberwindbar) , allerdings habe ich mal eine ganz banale Frage...
ich wollte dann jetzt auch die Produktregel und die Kettenregel herleiten, doch da scheitert es auch schon wieder!

f (x) = v (x) \cdot u (x)

das ist ja klar, und aufgrund der Tatsache, dass sowohl

v (x)

als auch

u (x)

eigenständige ganzrationale Funktionen sind, ist auch das Produkt eine ganzrationale Funktion
dann müsste es doch eigentlich heißen, dass die Ableitung einer gr Funktion multipliziert mit der Ableitung einer anderen gr Funktion wieder eine ganzrationale Funktion ergibt, oder???
dann hieße es aber bei mir im Kopf

(\land)

f' (x) = v' (x) \cdot u' (x)

wieso heißt es aber

f' (x) = v' (x) \cdot u (x) + u' (x) \cdot v' (x)

??????

muss ich das einfach als gegeben hinnehmen und die Regel unerklärt akzeptieren, oder gibt es erklärungen dafür??
ich vollziehe nämlich lieber alles nach, als irgendwas unbegriffen als wahr zu akzeptieren

=)

ich hoffe, dass mir das jemand erklären kann *lieb guck*

danke schon mal im Vorraus^^

anonymous

23:39 Uhr, 22.08.2009

h-Methode:

f (x) = u (x) \cdot v (x)

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{f (x + h) - f (x)}{h})

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{u (x + h) \cdot v (x + h) - u (x) \cdot v (x)}{h})

Bis hierhin sollte noch alles klar sein.
Jetzt addiert man im Zähler

u (x + h) \cdot v (x)

und subtrahiert es wieder, sodass der Wert gleich bleibt:

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{u (x + h) \cdot v (x + h) - u (x) \cdot v (x) + u (x + h) \cdot v (x) - u (x + h) \cdot v (x)}{h})

Ein wenig Umstellen des Zählers für den nächsten Schritt:

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{u (x + h) \cdot v (x + h) - u (x + h) \cdot v (x) + u (x + h) \cdot v (x) - u (x) \cdot v (x)}{h})

Ausklammern von u(x+h) und v(x) mit Hilfe des Distributivgesetzes (

a c + b c = (a + b) c

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{u (x + h) \cdot [v (x + h) - v (x)] + [u (x + h) - u (x)] \cdot v (x)}{h})

Umformen des Bruches mit Hilfe von

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{[v (x + h) - v (x)] \cdot u (x + h)}{h} + \frac{[u (x + h) - u (x)] \cdot v (x)}{h})

Umformen des bruches mit Hilfe von

\frac{a b}{c} = a \frac{b}{c}

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{v (x + h) - v (x)}{h} \cdot u (x + h) + \frac{u (x + h) - u (x)}{h} \cdot v (x))

Das

lim_{h \to 0}

in die Klammer bringen:

f ʹ (x) = lim_{h \to 0} (\frac{v (x + h) - v (x)}{h}) \cdot lim_{h \to 0} [u (x + h)] + lim_{h \to 0} (\frac{u (x + h) - u (x)}{h}) \cdot v (x)

Ersetzen:

lim_{h \to 0} (\frac{v (x + h) - v (x)}{h}) = v ʹ (x) (\frac{u (x + h) - u (x)}{h}) = u ʹ (x) lim_{h \to 0} u (x + h) = u (x)

f ʹ (x) = v ʹ (x) \cdot u (x) + u ʹ (x) \cdot v (x)

Man muss also einiges einfach erkennen oder die Herleitung der Produktregel auswendig wissen.

Edit: Hier ist ein Video, in welchem die Herleitung nochmal ganz gut vorgemacht wird:
http//de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/S5Sdsl4-Herleitung-Produktregel

Giant aktiv_icon

23:48 Uhr, 22.08.2009

Schöne ehrliche Frage=)

Ich glaube mit einem Beispiel kann man deine Frage am besten beantworten, dazu zwei ganzrationale Funktionen

h (x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) = (x^{2} - 1) \cdot (x + 3) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3

g (x) = (x + 2) \cdot (x - 2) = x^{2} - 4

Nun haben wir eine Funktion, die das Produkt von

h (x)

und

g (x)

bildet.

f (x) = h (x) \cdot g (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - x - 3) \cdot (x^{2} - 4)

Wir können es ja einfach mal ausmultiplizieren und anschließend mit der Potenzregel ableiten,

f (x) = x^{5} - 4 x^{3} + 3 x^{4} - 12 x^{2} - x^{3} + 4 x - 3 x^{2} + 12 = x^{5} + 3 x^{4} - 5 x^{3} - 15 x^{2} + 4 x + 12

f' (x) = 5 x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 30 x + 4

Sollte man deine Methode

f' (x) = h' (x) \cdot g' (x)

benutzen würde folgendes herauskommen:

f (x) = (x^{3} + 3 x^{2} - x - 3) \cdot (x^{2} - 4)

f' (x) \neq (3 x^{2} + 6 x - 1) \cdot (2 x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} - 2 x

es wäre also nicht richtig.

Mit der obigen Erkenntnis lässt sich jedes Produkt aus zwei ganzrationalen Funktionen ableiten, weswegen die Produktregel für diese Form nicht zwingend benutzt werden muss.
Das Gegenteil tritt jedoch auf, wenn eine(oder beide) Funktionen NICHT ganzrational sind(z.B. bei Exponentialfunktionen)

Diese können nicht einfach ausmultipliziert werden und müssen deswegen durch einen Kniff der sich Produktregeln nennt abgeleitet werden.
Folgendes Video dürfte dich interessieren, dort dürften deine restlichen Fragen endgültig geklärt werden:
http//www.oberprima.com/index.php/herleitung-produktregel/nachhilfe

Gruß Giant

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

634839

633596

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?