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Herleitung der Stammfunktion von 1/x

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Stammfunktion

phildechiller aktiv_icon

15:04 Uhr, 22.11.2009

Hallo...

Ich soll in der Schule eine Herleitung von der Stammfunktion von

\frac{1}{x}

darstellen...
Ich weiß zwar das die Stammfunktion von

\frac{1}{x}

gleich

ln (x)

ist aber ich weiß nicht wie man darauf kommt...

Danke schon einmal für die Antworten

Philipp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

15:25 Uhr, 22.11.2009

Hallo,

f (x) = \frac{1}{x}

ist eine stetige Funktion auf den reellen positiven Zahlen.
Also ist sie integrierbar und hat somit eine Stammfunktion.

Diese Stammfunktion F ist dann definiert durch:

F (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = l n (x)

Als Argument der Stammfunktion F wählt man üblicherweise das x. Dieses x ist auch die obere Grenze des Integrals.

So lässt sich der ln auch recht gut graphisch darstellen. ln(x) ist "die Fläche unter der Hyperbel von 1 bis x"

Nun führt man eine Kurvendiskussion durch, um die Eigenschaften des ln darzustellen.

Gruß Astor

phildechiller aktiv_icon

16:09 Uhr, 22.11.2009

Okay danke das hilft mir schomal weiter aber kann man das vlt au noch anders herleiten ,also nicht nur durch graphische Darstellung??

Astor aktiv_icon

16:11 Uhr, 22.11.2009

Das ist keine graphische Herleitung. Ich habe nur gesagt, dass man sich das auch graphisch veranschaulichen kann.

Der ln ist hier über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung definiert.
Gruß Astor

phildechiller aktiv_icon

16:15 Uhr, 22.11.2009

Achso okay ich versuch das jetzt noch mal zu verinnerlichen und schau mir das mal in aller Ruhe an falls ich noch Fragen hab meld ich mich danke schonmal;-)

phildechiller aktiv_icon

16:40 Uhr, 22.11.2009

Also irgendwie ist mir noch nicht ganz klar wie man jezz rechnerisch das ganze herleiten kann... auch wenn ich jezz weiß das die grenzen 1 und

x

sind.... wie kommt man jezz auf die Stammfunktion

ln (x) . .

. weil wenn ich ganz nomale Stammfunktion von

\frac{1}{x}

machen würde... würde dann das umgeschrieben ja

x^{- 1}

ergeben un wenn ich jezz das weiter machen will geht das ja schlecht würde ich sagen... ????

Gruß philipp

OmegaPirat

16:52 Uhr, 22.11.2009

es kommt drauf an von welcher Definition des

ln

man ausgeht.
Da du scheinbar noch in der Schule bist, nehme ich mal an, dass ihr den

ln

als umkehrung von

e^{x}

definiert habt.

Dann kann man die Stammfunktion von

\frac{1}{x}

herleiten in dem man zeigt, dass die ableitung von

f (x) = ln (x) f' (x) = \frac{1}{x}

ist.
Integration lässt sich ja als umkehrung der Differentiation interpretieren.
Von dieser Ausgangsbasis aus gesehen geht die herleitung wie folgt

es sei

f (x) = ln (x)

dann ist

f' (x) = lim_{Δ x \to 0} (\frac{ln (x + Δ x) - ln (x)}{Δ x})

= lim_{Δ x \to 0} (\frac{ln (1 + \frac{Δ x}{x})}{Δ x})

= \frac{1}{x} \cdot lim_{Δ x \to 0} \frac{x}{Δ x} (ln (1 + \frac{Δ x}{x}))

nun setze ich

\frac{Δ x}{x} = \frac{1}{n}

dann muss

n \to \infty

gelten, wenn

Δ x \to 0

\Rightarrow = \frac{1}{x} \cdot lim_{n \to \infty} n (ln (1 + \frac{1}{n})) = \frac{1}{x} \cdot lim_{n \to \infty} ({ln (1 + \frac{1}{n})}^{n})

dabei ist die zahl

e

definiert als

e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

Dann folgt

\frac{1}{x} \cdot lim_{n \to \infty} ({ln (1 + \frac{1}{n})}^{n}) = \frac{1}{x} \cdot ln (e) = \frac{1}{x}

Folglich gilt

\int (\frac{1}{x}) d x = ln (x) + C

Das was Astor meinte ist, dass man den

ln (x)

einfach als ein integral definiert. Dann muss man halt nur zeigen, dass dieses integral überhaupt existiert. ich glaube aber nicht, dass dies dein Lehrer mit Herleitung meinte.

phildechiller aktiv_icon

20:48 Uhr, 23.11.2009

Wie verstehe ich den Schritt mit den (x)

/ x

gleich 1/n???

hagman aktiv_icon

09:29 Uhr, 24.11.2009

Am einfachsten ist dennoch, wenn du weisst, dass

\frac{d}{d x} ln (x) = \frac{1}{x}

für

x > 0

gilt, folglich umgekehrt

ln (x)

dort Stammfunktion zu

\frac{1}{x}

ist (per Hauptsatz)

OmegaPirat

12:35 Uhr, 24.11.2009

dieser schritt beruht einfach nur darauf, dass ich den gesamten ausdruck in eine bestimmte form bringen will, nämlich so dass man darin den grenzwert

e

erkennt.

ich kann ja ausdrücke beliebig umbenennen, in diesem fall nenn ich

\frac{Δ (x)}{x}

einfach

\frac{1}{n}

entsprechend muss ich dies dann aber beim grenzwert berücksichtigen, da ich im grenzwert das

Δ (x)

gegen null laufen lasse. Der ausdruck

\frac{Δ (x)}{x}

strebt gegen null.

\frac{1}{n}

muss dann auch gegen null streben und demnach muss dazu

n

gegen

\infty

streben.

@hagman
ich versuche ja nichts anderes als zu beweisen, dass

(ln (x))' = \frac{1}{x}

.
ich weiß ja nicht ob er das voraussetzen darf, wenn dem aber so wäre, dann wäre diese Aufgabe sehr trivial.

phildechiller aktiv_icon

16:50 Uhr, 24.11.2009

Okay ich habe das heute mal meinem mathe lehrer gezeigt und er würde das eher über die umkehrfunktion herleiten da man bei deiner lösung das nicht mehr zurückführen kann...
nur wenn ich die Ableitung von

ln (x)

über die Umkehrfunktion mache ,weiß ich nun trotzdem nicht wie ich dann wieder von

\frac{1}{x}

auf

ln (x)

komme...hast du vlt dazu eine Lösung?

LG philipp

OmegaPirat

23:00 Uhr, 24.11.2009

zu was kann man meine Herleitung nicht mehr zurückführen? Also durch meine herleitung ist das Problem bereits vollständig gelöst

Die Umkehrfunktion von

f (x) = y = ln (x)

ist

g (y) = e^{y}

Das Problem bei solchen Sachen ist jetzt, dass ich ja keinerlei Informationen darüber habe, was du voraussetzen darfst. Anscheinend darfst du voraussetzen, dass

(e^{x})' = e^{x}

Daraus kann man dann natürlich auf die Ableitung des

ln

schließen. Das Problem dabei ist aber, dass es grundsätzlich schwieriger ist die ableitung der e-funktion direkt zu zeigen, als die ableitung des

ln

. Eine gängige Vorgehensweise besteht deshalb daraus, dass man erst den

ln

nach meiner methode ableitet und dann die ableitung von

e^{x}

ermittelt.
es ist zwar sehr einfach zu zeigen, dass die e-funktion proportional zu ihrer ableitung ist, also

(e^{x})' ~ e^{x}

aber es ist schwierig zu zeigen, dass der proportionalitätsfaktor eine 1 ist, da man hierzu noch einen nicht ganz einfachen grenzwert auswerten muss. Nicht ganz einfach bezieht sich hierbei in Relation zur Herleitung der ableitung des

ln

nach meiner methode.

Aber nun gut, setzen wir mal voraus, dass

(e^{x})' = e^{x}

Dann gilt

g' (y) = e^{y}

und damit

f' (x) = \frac{1}{g' (y)} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{e^{ln (x)}} = \frac{1}{x}

Du weißt jetzt, dass

f (x) = ln (x)

und

f' (x) = \frac{1}{x}

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation, also wenn du

f' (x)

integrierst, gelangst du zu

f (x)

. Also sind

ln (x) + C

die stammfunktionen von

\frac{1}{x}

phildechiller aktiv_icon

21:39 Uhr, 25.11.2009

Sehr gut da verstehe ich ja auch alles und so hab ich das auch gemacht aber kann man das noch irgendwie rechnerrisch dann hinschreiben also dann die integration von

\frac{1}{x}

da hab cih jezz au viel probiert aber noch nichts hingebekommen weil ich nciht weiß was der sagt wenn ich das nicht noch irgendwie hinschreibe...oder kann man das überhaupt in rechnerischen schritten hinschreiben???

OmegaPirat

23:29 Uhr, 25.11.2009

also wenn du gezeigt hast, dass für die ableitung von

f (x) = ln (x)

f' (x) = \frac{1}{x}

gilt, so kannst du unmittelbar Folgendes schreiben

\Rightarrow \int \frac{1}{x} d x = ln (x) + C

das ist mathematisch vollkommen korrekt.

phildechiller aktiv_icon

14:44 Uhr, 26.11.2009

Danke für die Lösungen;-);-) war alles

i . o

. hab das heute vorgestellt in der schule...

also danke noch mal

philipp

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