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Herleitung der Volumenformel einer Pyramide

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Beweis, Herleitung, Integration, Produktsummen

Mitglied

14:07 Uhr, 16.01.2015

Hallo Zusammen,

Ich beiße mir gerade bei folgender Aufgabe die Zähne aus.
Ziel ist es die Volumenformel der Pyramide mittels Integration zu beweisen/herzuleiten. Man kann ja einen beliebigen Körper in kleine Scheiben zerschneiden und somit das Integral als Produktsumme verstehen.
Dies gelingt mir jedoch nicht für die Pyramide. Mein Problem ist es die Flächenfunktion in Abhängigkeit der Höhe aufzustellen. Klar ist, dass bei maximaler Höhe die dazugehörige Grundfläche einen Flächeninhalt von 0 hat und umgekehrt bei maximaler Grundfläche die Höhe 0 sein muss.

Kann mir jemand von euch helfen?

Beste Grüße
Mitglied

PS: An bei findet Ihr ein Beispiel, da ich mir nicht sicher bin ob ich mich verständlich ausgedrückt habe.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

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Edddi aktiv_icon

14:17 Uhr, 16.01.2015

A (z)

steht doch schon da. Weil Seitenlänge

a = \frac{d}{\sqrt{2}}

ergibt sich für die Fläche

a^{2} = \frac{d^{2}}{2}

Somit

A (z) = \frac{d {(z)}^{2}}{2}

d (z) = 8 - 4 \cdot \sqrt{z}

ergibt sich:

A (z) = \frac{{(8 - 4 \cdot \sqrt{z})}^{2}}{2} = \frac{64 - 64 \cdot \sqrt{z} + 16 \cdot z}{2}

Das Volumen ist dann einfach:

V (z) = \int_{0}^{z} \frac{64 - 64 \cdot \sqrt{z} + 16 \cdot z}{2} d z = \int_{0}^{z} (32 - 32 \cdot \sqrt{z} + 8 \cdot z) d z

;-)

Mitglied

14:32 Uhr, 16.01.2015

Hallo Eddie,
Danke für deine schnelle Antwort!

Woher nimmst du, bzw. wie kommst du auf

d (z)

? Ich kann ja nicht einfach die Angabe aus dem Beispiel auf meine Pyramide anwenden.

Letztendlich soll das Ergebnis ja

\frac{1}{3} G \cdot h

sein.

Hast du noch eine Idee?

Edddi aktiv_icon

14:45 Uhr, 16.01.2015

. .

. es soll also nicht die Pyramide in der Skizze, sondern ein ganz allgemeine geradkantige Pyramide berechnet werden?

Mit

A (h)

als Flächenfkt. der Höhe ist bei dir also:

A (0) = G

und

A (h_{0}) = 0

wenn

h_{0}

die Höhe deiner Pyramide ist.

Nun gilt weiter:

{(\frac{h_{0} - h}{h_{0}})}^{2} = \frac{A (h)}{A (0)} = \frac{A (h)}{G}

und damit

A (h) = {(\frac{h_{0} - h}{h_{0}})}^{2} \cdot G

Das Volumen erhälst du dann aus:

V = \int_{0}^{h_{0}} A (h) d h = \int_{0}^{h_{0}} {(\frac{h_{0} - h}{h_{0}})}^{2} \cdot G d h

= \frac{G}{h_{0}^{2}} \cdot \int_{0}^{h_{0}} {(h_{0} - h)}^{2} d h

= \frac{G}{h_{0}^{2}} \cdot \int_{0}^{h_{0}} (h_{0}^{2} - 2 \cdot h_{0} \cdot h + h^{2}) d h

= \frac{G}{h_{0}^{2}} \cdot {[h_{0}^{2} \cdot h - h_{0} \cdot h^{2} + \frac{h^{3}}{3}]}_{0}^{h_{0}}

= \frac{G}{h_{0}^{2}} \cdot (h_{0}^{3} - h_{0}^{3} + \frac{h_{0}^{3}}{3})

= . .

.

den Rest bekommst du allein hin.

;-)

Mitglied

15:01 Uhr, 16.01.2015

Super, Vielen Dank!

Ist echt alles gut nachvollziehbar und natürlich landet man auch beim richtigen Ergebnis. Einmal nachfragen muss ich dennoch:

Wie kommst du direkt am Anfang auf

{(\frac{h_{0} - h}{h_{0}})}^{2} = \frac{A (h)}{A (0)}

Sind das einfach Verhältnisse?

Edddi aktiv_icon

15:34 Uhr, 16.01.2015

Einfach was ausdenken ist natürlich nicht! Das ist angewandter Strahlensatz.

Wachsen allerdings Längenverhältnisse linear, so wachsen die Flächen quadratisch an. Deshalb sind beim Vergleich von Längen zu Flächen die Längen ins Quadrat zu setzen.

Das gilt übrigens ganz allgemein. Wächst

z . B

. ein Elefantenbaby auf da 5-fache seiner Größe, so ver-25-facht sich seine Hautoberfläche und sein Volumen ver-125-facht sich. Egal, wie der Elefant nun aussieht (er müsste natürlich seine Proportionen beibehalten)

:-)

Mitglied

20:30 Uhr, 16.01.2015

:-):-):-)
Sehr gut erklärt. Das meinte ich mit Verhältnissen.

Super vielen Dank nochmal.

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