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Herleitung des Ellipsoid Volumen

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Stammfunktion

anonymous

18:18 Uhr, 09.07.2009

Hallo! Ich brauche die Stammfunktion von VEllipsoid = π ∙ ∫

f (b

∙ √(1 –

x \frac{2}{a} 2)) 2 d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

13:02 Uhr, 10.07.2009

Ellipse:

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

explizite Darstellung:

{(\frac{y}{b})}^{2} = 1 - {(\frac{x}{a})}^{2}

\frac{y}{b} = + \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}

(wir benötigen nur den positiven Wurzelwert, da die Kreisfläche bei der Rotation zum Integrieren nur aus einem Betrag gebildet wird)

y = b \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}}

Die aus der Rotation für

x

resultirende Kreisflääche ist

Π \cdot r^{2} = Π \cdot y^{2} = Π \cdot {(b \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}})}^{2}

Die Integration der Flächen liefert das Volumen:

V = \int

A(x)*dA

V = \int_{- a}^{a} Π \cdot {(b \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}})}^{2} \cdot d x

V = Π \cdot \int_{- a}^{a} b^{2} \cdot (1 - {(\frac{x}{a})}^{2}) \cdot d x

V = Π \cdot \int_{- a}^{a} b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot x^{2} \cdot d x

V = Π \cdot \int_{- a}^{a} b^{2} \cdot d x - Π \cdot \int \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot x^{2} \cdot d x

V = Π \cdot b^{2} \cdot \int_{- a}^{a} \cdot d x - Π \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} \int x^{2} \cdot d x

V = Π \cdot b^{2} \cdot (a - (- a)) - Π \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot (\frac{a^{3}}{3} - \frac{{(- a)}^{3}}{3})

V = Π \cdot b^{2} \cdot 2 \cdot a - Π \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot a^{3}

V = Π \cdot b^{2} \cdot 2 \cdot a - Π \cdot b^{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot a

V = 2 \cdot Π \cdot a \cdot b^{2} - \frac{2}{3} \cdot Π \cdot a \cdot b^{2} = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot a \cdot b^{2}

mit

b

auch als Halbachse der z-Achse (wegen der Rotation)

...ansonsten hätten wir für beliebiges

c : V = \frac{4}{3} \cdot Π \cdot a \cdot b \cdot c

...Wahrscheinlich hättest du die Stammfunktion allein hinbekommen, wenn du erstmal der Ausdruck im Integral vereinfacht hättest, da sich die Wurzel durch das Quadrieren auflöst.

;-)

tamoO aktiv_icon

17:48 Uhr, 14.07.2009

Hallo Eddi, die Frage ist wirklich super von dir gelöst! Zufällig hab ich hier so ziemlich die gleiche Aufgabe und ich bin in einem Punkt etwas verwirrt.

Nach welcher Regel kann man die Variablen vor das Integral schreiben? Ich bin eigentlich auch soweit gekommen und habe dann

z . B

. die Stammfunktion von b² mit b²x angegeben, was natürlich nicht zur richtigen Lösung führte.

Danke schon mal für deine Antwort!

Edddi aktiv_icon

12:34 Uhr, 15.07.2009

...aber das ist doch richtig....die Stammfunktion von

b^{2}

ist

b^{2} \cdot x :

\int b^{2} \cdot d x

= b^{2} \cdot \int \cdot d x

oder

b^{2} \cdot \int 1 \cdot d x

oder

b^{2} \cdot \int x^{0} \cdot d x

= b^{2} \cdot \frac{x^{1}}{1} = b^{2} \cdot x

das

b^{2}

ist eine Konstante, und kann somit vor's Integral gezogen werden.

Durch die Grenzen des bestimmten Integrals enteht für:

\int_{- a}^{a} b^{2} \cdot d x = b^{2} \cdot \int_{- a}^{a} \cdot d x = b^{2} \cdot x |_{- a}^{a}

= b^{2} \cdot (a - (- a)) = b^{2} \cdot (a + a) = b^{2} \cdot 2 \cdot a = 2 \cdot a \cdot b^{2}

...oder habe ich dich falsch verstanden?

;-)

alx-hdu aktiv_icon

17:18 Uhr, 15.07.2014

Vielen Dank an Eddie für die klasse Lösung. Jedoch habe ich meine frage:

Wie vereinfachst du

V = 2 \cdot π \cdot a \cdot b^{2} - 23 \cdot π \cdot a \cdot b^{2}

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot a \cdot b^{2}

Ich meine es müssten dann:

V = \frac{4}{3} \cdot π \cdot a^{2} \cdot b^{4}

Oder irre ich mich?

Atlantik aktiv_icon

17:23 Uhr, 15.07.2014

V = 2 Π a b^{2} - 23 Π a b^{2} = - 21 Π a b^{2}

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

17:29 Uhr, 15.07.2014

Aha bei Edddi heißt es:

2 Π a b^{2} - \frac{2}{3} Π a b^{2} = \frac{6}{3} Π a b^{2} - \frac{2}{3} Π a b^{2} = \frac{4}{3} Π a b^{2}

Das ist doch richtig.

mfG
Atlantik

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