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Höhe und Abzählbarkeit von algebraischen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Abzählbarkeit, Algebraische Zahlentheorie, Polynomfunktion

 
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linaoe2003

linaoe2003 aktiv_icon

20:43 Uhr, 16.12.2023

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hey,

das eist eine Aufgabe, die ich lösen muss und ich komme nicht ganz weiter.

"Ein ganzzahliges Polynom (ungleich dem Nullpolynom) ist eine Funktion der Form

P(x)= amxm + am−1xm−1 + . . . +a1x+a0

mit ganzzahligen Koeffizienten ak und am ̸= 0. Eine reelle Zahl heißt algebraisch, falls sie die
Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms ist.

Betrachten Sie die Höhe h(P) eines Polynoms wie oben, definiert durch

h(P)=m+ |am| + . . . +|a0|

und zeigen Sie, dass es für jede Höhe h nur endlich viele ganzzahlige Polynome P mit
h(P)=h gibt. Folgern Sie, dass die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist."

ich habe zwar verstanden, wie die algebraischen Zahlen definiert sind und was gefragt ist, weiß aber nicht genau was mit der höhe gemeint ist und wie ich die Aufgabe dann angehen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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HAL9000

HAL9000

20:51 Uhr, 16.12.2023

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> weiß aber nicht genau was mit der höhe gemeint ist

Ja hast du denn den Aufgabentext nicht gelesen? Das ist doch im Text gerade eben definiert wurden durch diese Funktion h(P) !!!
linaoe2003

linaoe2003 aktiv_icon

20:58 Uhr, 16.12.2023

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ja habe ich selbstverständlich hahah, aber woher kommt diese Definition und wie soll sie mir bei der Untersuchung auf Abzählbarkeit helfen?
und wie gesagt, wirklich wissen was diese "Höhe" ist, weiß ich immer noch nicht
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michaL

michaL aktiv_icon

22:16 Uhr, 16.12.2023

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Hallo,

nun, es wird dir nicht viel helfen, aber die Höhe eines Polynoms ist die Summe der Beträge seiner Koeffizienten und des Leitkoeffizienten.

Mir scheint der Begriff vor allem von theoretischer Bedeutung.

Zum Beweis: Mache dir klar, dass der Grad derjenigen Polynome p, die eine festgelegte Höhe h haben, einen gewissen Grad nicht übersteigen können. (Konkret gilt für den Grad m mMn m≤h.)
Anschließend musst du noch belegen, dass die Koeffizienten ebenfalls nur noch beschränkt viele Werte annehmen können.

Damit sollte die Sache in den Griff zu bekommen sein.

Mfg Michael
Frage beantwortet
linaoe2003

linaoe2003 aktiv_icon

22:22 Uhr, 16.12.2023

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Ahh super, vielen Dank! Damit sollte ich tatsächlich weiterkommen :-)
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HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

21:08 Uhr, 17.12.2023

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Hier mal ein Beispiel für die Höhe 5:

Grad 4:
±x4 = ±1⋅x4 hat den Wert m=4 und ∣a4∣=1 und damit die Höhe 5. Zu x4 kann es keine weiteren Summanden geben.

Grad 3:
±2⋅x3 Wert m=3 und ∣a3∣=2 und damit die Höhe 5. Zu 2x3 kann es keine weiteren Summanden geben.
±1x3±1 Wert m=3, ∣a3∣=1 und ∣a0∣=1 und damit die Höhe 5.
±1x3±1x Wert m=3, ∣a3∣=1 und ∣a1∣=1 und damit die Höhe 5.

Grad 2:
±3⋅x2 Wert m=2 und ∣a2∣=2 und damit die Höhe 5. Zu 3x2 kann es keine weiteren Summanden geben.
±2x2±1 Wert m=2, ∣a2∣=2 und ∣a0∣=1 und damit die Höhe 5.
±2x2±1x Wert m=2, ∣a2∣=2 und ∣a1∣=1 und damit die Höhe 5.
±1x2±2 Wert m=2, ∣a2∣=1 und ∣a0∣=2 und damit die Höhe 5.
±1x2±1x±1 Wert m=2, ∣a2∣=1, ∣a1∣=1, und ∣a0∣=1 und damit die Höhe 5.
±1x2±2x Wert m=2, ∣a2∣=1, und ∣a1∣=2 und damit die Höhe 5.

Grad 1:
±4⋅x1 Wert m=1 und ∣a1∣=4 und damit die Höhe 5. Zu 4x kann es keine weiteren Summanden geben.
±3x1±1 Wert m=1, ∣a1∣=3 und ∣a0∣=1 und damit die Höhe 5.
±2x1±2x Wert m=1, ∣a1∣=2 und ∣a0∣=2 und damit die Höhe 5.
±1x1±3 Wert m=1, ∣a1∣=1 und ∣a0∣=3 und damit die Höhe 5.

Grad 0:
±5 Wert m=0, ∣a0∣=5