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Integral: Rotationskörper Volumsberechnungen

Schüler Sonstige, 11. Klassenstufe

Tags: Rotation, Rotation um die X-Achse, Rotation um die Y-Achse, Volumen

Cooper25 aktiv_icon

21:35 Uhr, 19.09.2010

Hallo Leute,

Ich habe leider noch ein paar Verständnisprobleme bei der Volumsberechnung mittels einer Rotation um die

x -

bzw. y-Achse.

Einfache Aufgaben verstehe ich noch halbwegs. Wie

z . b

. eine Rotation einer Geraden

- \to

Drehkegel.

Sobald aber die Fläche etwas komplizierter ist, die rotiert werden soll kommen schon die ersten Probleme.

1. Frage:
Ich habe zwei Funktionen mit zwei gemeinsamen Schnittpunkten. Daraus ergibt sich eine Fläche welche einerseits um die X-Achse und andererseits um die Y-Achse rotiert werden soll um das Volumen zu berechnen.

Bsp:

f : y = x + 6

g : y =

(x²)/2

+ 2

Ich weiß bei einer solchen Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Schwer tue ich mir vor allem beim finden der Grenzen für das bestimmte Integral. Wie rechne ich eine solche Aufgabe?

Meine Probleme bei dieser Aufgabe:
Ein teil ist auf der linken Seite des Koordinatensystems, der andere auf der rechten. Wenn ich jetzt mit der Formel das Rotationsvolumen berechnen möchte, welche Fläche rotiert hier? Ist das nur die rechte Seite oder die ganze Fläche? Überschneide sich das?
Die Rotationsformeln habe ich noch so im Kopf:
Vx = PI

\cdot

Integral y²

d x

Vy = PI

\cdot

Integral x²

d y

Kann ich mit diesen Formeln überhaupt das richtige Volumen berechnen?

2. Frage
Oder wie sieht es mit einer Fläche aus die weder die x-Achse, noch die y-Achse berühren. Funktioniert hier die Rotation überhaupt

Weiß vielleicht jemand eine Seite in der die Rotation von Funktionen grafisch dargestellt und erklärt wird. Es würde mir sehr helfen.

3. Frage
Macht es einen unterschied ob man einen Viertelkreis oder einen Halbkreis um die x-Achse rotieren lässt?

Viertelkreis:

P (0 / 3), P (3 / 0)

Halbkreis:

P (0 / 3), P (3 / 0), P (0 / - 3)

Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet, bei dieser Sache mehr Verständnis zu bekommen.

Mit freundlichen Grüßen
Cooper25

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

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Edddi aktiv_icon

09:47 Uhr, 20.09.2010

...stell' nicht so viele Fragen auf einmal!

Die Rotation von Flächen, die die X-Achse berühren ist dir also klar.

Dann stell' dir mal eine X-Achsen parallele Gerade vor. Diese rotiere ich in einem Bereich um die X-Achse.
Das ergibt einen Zylinder!

Stell' dir nun eine X_Achsen parallele Gerade vor, welche nun näher an der X-Achse -liegt.
Diese erzeugt im selben Bereich einen Zylinder mit kleinerem Durchmesser.

Ziehst du nun das kleine Zylinder-Volumen vom großen Zylindervolumen ab, so erhälst du das Restvolumen, welches durch die Rotation der Differenzfläche (die NICHT die X-Achse berürt) gebildet wird.

Was berechnet man eigentlich mit

π \cdot \int f^{2} (x) \cdot d x

????

Wir verwenden mal dein Beispiel.

y_{1} = x + 6

und

y_{2} = \frac{x^{2}}{2} + 2

Schnittpunkte berechnen:

x + 6 = \frac{x^{2}}{2} + 2

\frac{x^{2}}{2} - x - 4 = 0

x^{2} - 2 \cdot x - 8 = 0

{(x - 1)}^{2} - 9 = 0

{(x - 1)}^{2} = 9

x - 1 = \pm \sqrt{9} = \pm 3

x = 1 \pm 3

x_{1} = 4

x_{2} = - 2

...wir betrachten also die Schnittfläche im Bereich

- 2

und 4 (Grenzen)

Am besten, du skizzierst mal die beiden Graphen auf.

An der Stelle

x = 0

hat die Parabel den Wert 2 und die Gerade den Wert

6 .

Die Werte-Differenz beträgt also

y_{1} (0) - y_{2} (0) = f_{1} (0) - f_{2} (0) = 4

Diese Linie wird nun um die X-Achse rotiert. Es entsteht eine Kreisscheibe (=Differenz aus Kreis mit Radius

y_{1}

und kleinerer Kreis mit Radius

y_{2})

Diese Fläche

A = π \cdot y_{1}^{2} - π \cdot y_{2}^{2} = π \cdot (y_{1}^{2} - y_{2}^{2})

multipliziere ich, wie bei normalen Flächenintegralen ja auch, mit einer differentiellen Höhe

d h .

Dies ergibt ein diff. Volumensegment von

d V_{x} = π \cdot (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) \cdot d h

Über den gesamten Bereich integriert macht das dann:

\int d V_{x} = π \cdot \int (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) \cdot d x

V = \int_{x_{0}}^{x_{1}} π \cdot (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) \cdot d x = π \cdot \int_{x_{0}}^{x_{1}} (y_{1}^{2} - y_{2}^{2}) \cdot d x

V = π \cdot \int_{x_{0}}^{x_{1}} (y_{1}^{2}) \cdot d x - π \cdot \int_{x_{0}}^{x_{1}} (y_{2}^{2}) \cdot d x

...auch hier siehst du schön, das in den Grenzen einfach nur das kleinere Rotationsvloumen (welches die -X-Achse berührt) vom größeren abgezogen wird.

Dein Rotationsvolumen für deine Beispielfunktion ergibt sich also zu:

V = π \cdot \int_{- 2}^{4} {(x + 6)}^{2} - {(\frac{x^{2}}{2} + 2)}^{2} \cdot d x

...usw.

. .

. nun noch kurz zur Rotation um die Y-Achse.

Hiefür ist dein Beispiel ungünstig gewählt, da es bei der Rotation zur Überschneidung kommt. In deinem Beispiel liegt jedoch das Flächensegment aus dem 2. Quadranten bei der Rotation um die Y-Achse im Flächensegment aus dem 1. Quadranten.
Wir brauchen also den Bereich von

- 2

bis 0 nicht berücksichtigen.

Wir rotieren also nur den Bereich 0 bis 4 um die Y-Achse. Dies geht mit analogen Formeln. Wenn's dich durcheinander bringt, dann transformiere einfach die Koordinatenachsen ineinander.

Aus

x

wird y-Achse und aus

y

wird x-Achse.

Jetzt Transformation der Funktionen:

y_{1} = x + 6 \Leftrightarrow x = y_{1} - 6 \Leftrightarrow y_{1} = x - 6

y_{2} = \frac{x^{2}}{2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt{2 \cdot y_{2} - 4} \Leftrightarrow y_{2} = \sqrt{2 \cdot x - 4}

...hier reicht, da Rotation, der positive Wurzelausdruck!

(auch hier am besten den fkt.-verlauf aufskizzieren!)

Nun musst du 2 Volumina zusammensetzen. Einmal über

y_{2}^{2}

von 2 bis 6 und einmal über

y_{2}^{2} - y_{1}^{2}

von 6 bis

10

V_{G} = V_{1} + V_{2} = π \cdot \int_{2}^{6} {(\sqrt{2 \cdot x - 4})}^{2} \cdot d x + π \cdot \int_{6}^{10} {(\sqrt{2 \cdot x - 4})}^{2} - {(x - 6)}^{2} \cdot d x

V_{G} = π \cdot \int_{2}^{6} 2 \cdot x - 4 \cdot d x + π \cdot \int_{6}^{10} 2 \cdot x - 4 - {(x - 6)}^{2} \cdot d x

V_{G} = π \cdot \int_{2}^{6} 2 \cdot x - 4 \cdot d x + π \cdot \int_{6}^{10} - x^{2} + 14 \cdot x - 40 \cdot d x

...naja...wie gesagt, dein Beispiel ist etwas ungüstig.

Einfacher wäre es

z . B

. an der Funktion

y = x^{2}

Dann erhälst du als Rotationsvolumen zw.

x_{0}

und

x_{1} :

V_{x} = π \cdot \int_{x_{0}}^{x_{1}} x^{4} + d x

Bei Rotation um y-Achse mit gelichen Punkten erhälst du nach Transfomation:

V_{y} = π \cdot \int_{y_{0}}^{y_{1}} f^{- 1} (y) \cdot d y = π \cdot \int_{f (x_{0})}^{f (x_{1})} \sqrt{y} \cdot d y

...so, nun tun mir die Finger weh'...jetzt bist du dran!

;-)

Cooper25 aktiv_icon

10:17 Uhr, 20.09.2010

Vielen Dank für die einleutende Erklärung. Als das mit der Rotation um die X-Achse habe ich verstanden.

Aber das mit dem transformieren und der Roation um die y-Achse noch nicht. Wie kann ich sagen, dass ich nur die Fläche von

0 - 4

um die y-Achse rotieren lassen kann?

Vielleicht könntest du mir das nochmals erklären.

Und noch der Verständnishalber:
Ich habe die Funktion: y1=x²/2+2 und keine weitere Funktion und ich möchte diese um die x-Achse rotieren. Sagen wir die Grenzen von

- 2

bis

+ 2

. Dann rotiere ich ja die Fläche von der x-Achse bis zu Funktion, oder? Wie rotiere ich aber nun die Fläche der ausgefüllten Kurve. Funktioniert das wenn ich hier eine Gerade

y 2 = 4

verwende und das dann rotieren lasse. Weil dann habe ich ja die ausgefüllte Kurve und diese rotiert schwebend um die x-Achse, ist das richtig?

Mit freundlichen Grüßen
Cooper25

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Edddi aktiv_icon

10:59 Uhr, 20.09.2010

...zu letzterem: jau

Das Volumen ergäbe sich dann zu:

V = π \cdot \int_{- 2}^{2} {(4)}^{2} - {(\frac{x}{2} + 2)}^{2} \cdot d x

V = π \cdot \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{4} + 2 \cdot x + 20 \cdot d x

...zu Rotation um y-Achse:

am besten du transformierst. Stell' dir einfach vor, dein Koordinatensystem und die Funktion, ich neh'm als Beispiel mal

y = x^{2},

wäre auf durchsichtigem Papier gezeichnet.

Jetzt drehst du das Blatt um (vertauchst linke und rechte Seite, die x-Achse zeigt jetz nach links) und drehst es dann in Uhrzeigerrichtung (rechtsrum) um 90°.

Nun zeigt die X-Achse nach oben und die y-Achse nach rechts (die Koordinatenachsen sind jetzt vertauscht = transformiert)

Der Funktionsverlauf entspricht nun der Rekursiv-Funktion.

...und die bekommst du ja auch durch das Vertauschen/Transformieren der Koordinaten.

Aus

y = x^{2}

wird durch vertauschen:

x = y^{2}

und durch umstellen:

y = \sqrt{x}

Somit ist die Fläche zwischen der Parabel

x^{2}

und der Y-Achse im Bereich 0 bis 2 gleich der Fläche der Rekursiv-funktion

\sqrt{x}

im Bereich

0^{2}

bis

2^{2} .

Wir tun also so, als ob die y-Achse die x-Achse wär.

??!!...!!??!!...alles klar??????

;-)

Cooper25 aktiv_icon

12:49 Uhr, 20.09.2010

Ok, ein bisschen bin ich noch verwirrt.

Das tansformieren bring mir doch nur, dass die Fläche dann quasi auf der X-Achse liegt. Wenn ich die Fläche nun um die y-Achse rotieren will könnte ich das doch so machen.

Ich rotiere die Funktion x²/2+2 von

2 - 10

um die y-Achse und subtrahiere die rotierende Fläche der Funktion

x + 6

mit den grenzen von 6-10.Ist das richtig?

So wie ich es verstanden habe brauche ich das Tansformiren dazu, um unsymetrische Funktionen rotieren zu lassen. Denn das ergibt dann eine Wurzelfunktion und ich betrachte nur die positive Wurzel. Und die Flächen überschneiden sich bei der Rotation nicht. Ist das richtig?

Mit freundlichen Grüßen
Cooper25

Edddi aktiv_icon

13:25 Uhr, 20.09.2010

2 x

NEIN

wie sollten's erstmal an einem einfachen Beispiel durchgehen!

Rotationsvoumen um X-Achse unter

y = x^{2}

im Bereich 2 bis 4 (und am besten mit aufskizzieren!!!!!!):

V_{x} = π \cdot \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{2} \cdot d x = π \cdot \frac{x^{5}}{5} |_{2}^{4}

...legen wir nun noch eine Gerade durch

(2,4)

und

(4,10)

und wollen das Rotationsvolumen dazwischen so ist's ja:

y_{G} = m \cdot x + n

y_{G} = \frac{10 - 4}{4 - 2} \cdot x + n = 3 \cdot x + n

Einsetzen des Punktes

(2,4)

liefert:

4 = 3 \cdot 2 + n

n = - 2

Die Gerade hat also die Funktion:

y_{G} = 3 \cdot x - 2

Somit ergibt sich für das Rotationsvolumen der Schnittfläche:

V = π \cdot \int_{2}^{4} y_{G}^{2} \cdot d x - V_{x} = π \cdot \int_{2}^{4} y_{G}^{2} \cdot d x - π \cdot \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{2} \cdot d x

V = π \cdot \int_{2}^{4} {(3 \cdot x - 2)}^{2} - {(x^{2})}^{2} \cdot d x = π \cdot \int_{2}^{4} - x^{4} + 9 \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 4 \cdot d x

...für Rotation um die y-Achse geht's anders!

aber soweit erstmal klar?

Cooper25 aktiv_icon

14:47 Uhr, 20.09.2010

Deine Funktion ist aber auch nicht gerade die beste. Müsste man nicht die Obere Funktion zum Quadrat minus der unteren Funktion zum Quadrat rechnen. Ansonsten ist doch das Volumen negativ.

Also so wie du das vorgerechnet hast kann ich dir folgen. Aber was ist an meinem Lösungsansatz falsch? Ich kann doch die Gesamtfläche der Quadratischen Funktion minus der rotierten Fläche zur Gerade rechnen, oder nicht?

Mit freundlichen Grüßen
Cooper25

Edddi aktiv_icon

14:55 Uhr, 20.09.2010

...sorry, es ging ja um mein Beispiel, schreib' gleich was dazu!

;-)

Edddi aktiv_icon

15:01 Uhr, 20.09.2010

...hab' da was mit deinem Beispiel durcheinandergebracht.

Also,

y = x^{2}

im Bereich 2 bis 4

Gerade jetzt natürlich durch

(2,4)

und

(4,16)

[

hier war mein Fehler]

Ergibt für die Gerade:

y_{G} = \frac{16 - 4}{4 - 2} \cdot x + n = 6 \cdot x + n

Punkt einsetzen:

4 = 12 + n

n = - 8

Damit:

y_{G} = 6 \cdot x - 8

Damit Ratationsvolumen:

V = π \cdot \int_{2}^{4} {(6 \cdot x - 8)}^{2} - {(x^{2})}^{2} \cdot d x

...so, dies soweit an diesem Beispiel klar?

;-)

Cooper25 aktiv_icon

15:02 Uhr, 20.09.2010

Bei Beitrag 3 ist eine Grafik angefügt. Bei mir ist

f (4)

ebenfalls

10

.

Nochmals mein Lösungsvorschlag bei rotation um die y-Achse:
Ich rotiere die Funktion x²/2+2 von

2 - 10

um die y-Achse und subtrahiere die rotierende Fläche der Funktion

x + 6

mit den grenzen von 6-10.Ist das nicht richtig?

Edddi aktiv_icon

15:04 Uhr, 20.09.2010

...ich hab's gerade nochmal für die Rotation um die x-Achse richtiggestellt.

...wir müssen hier erstmal klar sein, bevor es an die y-Rotation geht.

;-)

Cooper25 aktiv_icon

15:07 Uhr, 20.09.2010

Also dein Beispiel mit der Rotation um die x-Achse habe ich verstanden. Aber was ist mit meinem letzen Beitrag. Ich weiß im Moment kein Grund wieso das nicht funktionieren sollte.

Mit freundlichen Grüßen
Cooper25

Edddi aktiv_icon

15:34 Uhr, 20.09.2010

...ich glaub' ich versteh' jetzt was du meinst.

Du willst von

π \cdot \int_{2}^{10} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) \cdot d y

das Volumen

π \cdot \int_{6}^{10} {(y - 6)}^{2} \cdot d y

abziehen.

Somit ergibt sich das Gesamtvolumen zu:

V_{G} = π \cdot \int_{2}^{10} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) \cdot d y - π \cdot \int_{6}^{10} {(y - 6)}^{2} \cdot d y

was identisch ist mit:

V_{G} = π \cdot \int_{2}^{6} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) \cdot d y + π \cdot \int_{6}^{10} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) \cdot d y - π \cdot \int_{6}^{10} {(y - 6)}^{2} \cdot d y

was identisch ist mit:

V_{G} = π \cdot \int_{2}^{6} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) \cdot d y + π \cdot \int_{6}^{10} (\sqrt{2 \cdot y - 4}) - {(y - 6)}^{2} \cdot d y

(dies war meine Variante)

;-)

Cooper25 aktiv_icon

15:44 Uhr, 20.09.2010

Ja, genau.

Ich denke du hast mir heute sehr viel geholfen. Ich danke dir tausend mal für die tolle Hilfe.

Wenn du noch Lust hast, könntest du mir noch erklären, wozu nun das tansponieren der Funktion dient.

Mfg
Cooper25

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