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Integral hyperbolische Funktion

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Hyperbolische Hyperbelfunktion, Integration

drabherb aktiv_icon

14:41 Uhr, 16.01.2011

Hallo nocheinmal!

Ich hab noch eine Frage bzql. Integral hyperbolischer Funktionen:

Gegeben habe ich folgendes unbestimmtes Integral

\int \sqrt{x^{2} + 1} \cdot d x

Ich habe mich fürs integrieren via Substitution nach

x = sinh (t)

entschieden.

Damit erhalte ich folgendes Integral

1. Substitution:

x = sinh (t), d x = cosh (t) \cdot d t

\int \sqrt{{sinh}^{2} (t) + 1} \cdot cosh (t) \cdot d t

laut dem Satz

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x) = 1

erhält man für

\sqrt{{sinh}^{2} + 1} = cosh

somit:

\int cosh (t) \cdot cosh (t) \cdot d t = \int {cosh}^{2} (t) \cdot d t = \int (\frac{1}{2} \cdot cosh (2 t) + \frac{1}{2}) . d t

\int \frac{1}{2} \cdot cosh (2 t) \cdot d t + \int \frac{1}{2} \cdot d t

2. Substituition:

2 t = y

2 d t = d y \Rightarrow d t = \frac{d y}{2}

\int \frac{1}{2} \cdot cosh (y) \cdot \frac{d y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int d t =

\frac{1}{4} \cdot \int cosh (y) \cdot d y + \frac{1}{2} \cdot \int d t =

\frac{1}{4} \cdot sinh (y) + C + \frac{1}{2} \cdot t + C

2.Rücksubstituieren!

y = 2 \cdot t

\frac{1}{4} \cdot sinh (2 \cdot t) + \frac{1}{2} \cdot t + C

1.Rücksubstituieren!

x = sinh (t), d x = cosh (t) \cdot d t

t = {sinh}^{- 1} (x)

???

und genau hier steh ich an. Bzw. Ist das bis hier her eigentlich korrekt?
Ich bitte euch mir etwas auf die Sprünge zu helfen!

Danke, Herbert

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)