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Jede Basis ist Orthonormalbasis
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Tags: Skalarprodukt
 
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Zeige, dass auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum über lR für jede gegebene Basis ein inneres Produkt definiert werden kann, für welches eine Orthonormalbasis ist. Ich weiß leider nicht, wie ich das bewerkstelligen soll. Ich suche wohl nach einem inneren Produkt, wo ich für beliebige linear unabhängige Vektoren 0 heraus bekomme, oder? Kann mir jemand helfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, was für ein Hintergrundwissen hast du dazu? Ist dir bekannt, dass es zu jeder Bilinearform (wie dem gesuchten inneren Produkt/Skalarprodukt) eine geeignete Matrix gibt, sodass gilt? (Dabei gibt den Transpositionsoperator von "Matrizen" an, die Matrix hängt natürlichvon der gegebenen Basis ab.) Die Frage ist dann nur, ob dann orthogonal ist oder nicht. Ansonsten definierst du eben für einen beliebigen Vektor in der Basis und einen beliebigen (anderen) Vektor in der Basis das "Produkt" geeignet und weist die geforderten Eigenschaften nach. Mfg Michael |
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Ersteres ist mir leider nicht bekannt. Zum zweiten: Wie soll ich das Produkt denn definieren? |
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Hallo, na, wie könnte denn für und das Produkt sinnvoll definiert werden, damit gilt? ( jeweils) Mfg Michael |
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Hallo, das einfachste ist doch, die Basis (auch in der Reihenfolge) festzulegen und dann für die Vektoren eine Basistransformation von der bestehenden (natürlichen) Basis zu der neuen Basis vorzunehmen. Dann kannst Du für die Koordinaten zur bestehenden Basis das normale Skalarprodukt hernehmen und die Basisvektoren werden als Koordinaten zu sich selbst als Basis auf die natürlichen Basisvektoren abgebildet. Damit ist das Skalarprodukt der Basisvektoren untereinander immer Null und mit sich selbst immer 1. Damit hast Du ein Skalarprodukt, das diese beliebige Basis zu einer orthonormalen Basis macht. |
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Vielleicht so, dass die eigentlichen Basisvektoren im Produkt gar nicht mehr vorkommen? vielleicht? |
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Nein, ich muss nehmen, dann habe ich die Eigenschaften des Skalarprodukts automatisch, weil ich mich in lR bewege, und gleichzeitig kommt für ungleiche Basisvekoren immer 0 raus, weil ich nur Nullen aufsummiere. Stimmt das? |
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Hallo, jup, so und nur so geht's. Mit dieser Definition muss man nur beweisen, dass es sich um ein Skalarprodukt handelt. Mfg Michael |
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Danke! |
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