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Jordan-Basis berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Jordan Normalform, Jordanbasis, Lineare Algebra

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13:46 Uhr, 24.03.2019

Aufgabe: Berechnen Sie Jordan-Basen für die nachfolgende nilpotente Matrix.

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})

Meine Idee:
das charakteristische Polynom ist

- x^{3},

also ist der Eigenwert

= 0

mit algebraischer Vielfachheit 3.
Somit hat die Jordan-Normalform folgendes Aussehen:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & y \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Das "y" kann 0 oder 1 sein. Um es zu bestimmen, habe ich die Dimesinsionsformel genutzt: dimKer

A +

A = dim V

Ich weiß: Rg

A = 1

und

dim V = 3,

also ist dimKer

A = 2

.
Ich habe also 2 Jordankästchen zu, Eigenwert 0. Was heißt das aber jetzt? Warum kommt in das Feld von "y" eine 1 und keine 0?

Jetzt habe ich also die Jordan-Normalform:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Nun suche ich eine Basis davon, bestehend aus den Basisvektoren

v 1, v 2

und

v 3

v 1

ist Element vom Ker(A-Eigenwert)^2, aber kein Element vom Ker(A-Eigenwert)
Hierfür habe ich die Kerne berechnet:
erstmal ist (A-EW)=

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})

und (A-EW)^2=

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

somit ist Ker(A-EW)=

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und Ker(A-EW)^2

= R^{3}

oder anders gesagt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

bzw.

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

also kann

v 1 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

sein, aber auch die beiden anderen Ergebnisse von Ker(A-EW)^2 sind möglich.

Dann habe ich die ursprüngliche Matrix A mal

v 1

multipliziert und bekomme so

v 2 =

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

Nun fehlt noch

v 3

. Dieser muss ein Eigenvektor von A sein und linear unabhängig zu

v 2

.
Da die Eigenvektoren von A

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

sind

und beide linear unabhängig zu

v 2

sind, kann man sich

v 3

auch wieder aus beiden aussuchen. So habe ich mich für

v 3 = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

entschieden und bekomme meine Jordan-Basis, bestehend aus

v 1, v 2

und

v 3

.

Stimmt dieser Weg?
Wo liegen meine Fehler?
Wenn mein Ansatz komplett falsch ist, würde ich mich sehr über eine verständliche Schritt-Anleitung mit Beispiel freuen.

Danke, LG

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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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