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Jordan Basis und Jordan Normalform

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Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Determinant, Eigenwert, Jordan Normalform, Jordanbasis, Matrizenrechnung, Vektorraum

Miauda

16:07 Uhr, 26.07.2024

Hey, ich bereite mich auf meine Prüfung nächste woche vor und zerbreche mir den Kopf mir Formalitäten der Jordanzeugs. Ich habe meine Fragen und Gedanken direkt in das Dokument hinzugefügt und würde ich echt sehr über Aufklärung freuen, danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Randolph Esser aktiv_icon

21:05 Uhr, 26.07.2024

Du musst Dir klar darüber sein,

dass die Theorie der Linearen Algebra

nach und nach aufeinander aufbaut und

so langsam zu Dingen wie der JN hinführt.

Ohne die Theorie davor (Diagonalisierung,

Trigonalisierung, Hauptraumzerlegung...)

kann man sowas nicht verstehen.

Ist man dann bei der JN angekommen, muss

man sich durch den/die formal aufwendigen

Beweise dazu durchkämpfen und dabei

das Rechenrezept zum "jordanisieren" rausfiltern.

Und dann kommt noch die Meisterprüfung, nämlich,

dass man tatsächlich mal ein-zwei Matrizen "jordanisiert".

Aber wie gesagt, die JN ist kein isoliertes Ding,

sondern in die Theorie der Linearen Algebra eingeflochten

(Hüstel)...

Als Anhang eine einfache "Jordanisierung"

einer

4 \times 4

Matrix.

Miauda

00:02 Uhr, 27.07.2024

Das ist ein sehr gutes Beispiel, danke! Was mir jetzt öfter aufgefallen ist, sind die ergänzenden Hauotvektoren zu den Eigenvektoren. Mir ist schon klar, wie viele zu ergänzen sind und wie man damit dann die Basis Vektoren berechnet, aber die Wahl dieser Vektoren die man ergänzt hat ja im Prinzip nichts mit dem Zeug aus dem Gauß zu tun. Also nicht wie bei den Eigenvektoren dass man die wirklich „ausrechnet“ in welche Koordinate etwas kommt sondern sie müssen einfach linear unabhängig sein. Dann allerdings hat man ziemlich viel freiwahl und die Jordanbasis kann (bis auf die festen Eigenvektoren) ganz unterschiedlich ausfallen. Und dann geht das ganze nicht auf, was mich sehr verwirrt. Gibt es da doch eine vorangehensweise wie die Vektoren bestimmt werden sollen?

Randolph Esser aktiv_icon

00:21 Uhr, 27.07.2024

Ja, die gibt es. Und genau das musst Du Dir erarbeiten.
Es gibt keinen anderen Weg als Lernen bis der Arzt kommt.

Ich habe das Jordanisieren

z . B

. mit Fischer LinA - Buch gelernt,
wobei ich das ganze Buch durchgearbeitet habe.

Randolph Esser aktiv_icon

01:39 Uhr, 30.07.2024

Wir könnten eventuell mal

(\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix})

in die JN bringen, also Du mit meiner Hilfe,

so step by step...

Miauda

11:35 Uhr, 30.07.2024

Also ich habe mittlerweile verstanden wie die Vektoren zu bilden sind, ja es gibt unendlich viele Möglichkeiten aber es hat trotzdem seine Regeln:-)
Soweit bin ich auch gut klargekommen außer beim bestimmen von w1 also der letzen Komponente der Basis, da kommt der nullvektor raus und ist nicht Element aus Eig(A,2). Was passt da nicht?

pwmeyer aktiv_icon

11:46 Uhr, 30.07.2024

Wenn ich Dich richtig verstehe, ist schon der erste Umformungsschritt für das Gleichungssystem falsch.

Jedenfalls ist

(- 1,0,1,0)

kein Eigenvektor.

pwmeyer aktiv_icon

11:46 Uhr, 30.07.2024

Wenn ich Dich richtig verstehe, ist schon der erste Umformungsschritt für das Gleichungssystem falsch.

Jedenfalls ist

(- 1,0,1,0)

kein Eigenvektor.

Randolph Esser aktiv_icon

11:51 Uhr, 30.07.2024

Hatte ich vermutet. Probleme beim Bestimmen

der Lösungsmengen homogener LGS.

Also, sei A diese Matrix. Das charakteristische Polynom

bekommt man geschenkt, weil es sich um eine

untere Dreiecksmatrix handelt:

χ_{A} (t) = d e t (A - t E_{4}) = d e t (\begin{matrix} 2 - t & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - t & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 - t & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 - t \end{matrix}) = {(2 - t)}^{4},

gut.

Nun ist jedoch

K e r n (A - 2 E_{4}) = K e r n (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = K e r n (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = L i n ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}))

(Wer dazu noch eine Nebenrechnung braucht:

K e r n (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 0 \\ - x_{3} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) : x_{3}, x_{4} \in R}

= {x_{3} (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + x_{4} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) : x_{3}, x_{4} \in R} = L i n ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})))

.

So, jetzt erstmal Pause. Später weiter...

Miauda

13:30 Uhr, 30.07.2024

ach stimmt, total dummer Fehler von mir.
Hab’s jetzt nochmal versucht, eben war auch falsch dass ich überhaupt den Vektor aus Eig2w3 statt w2 genannt habe, wenn ich nicht falsch liege sind es jetzt aber sogar w2 und u2. Die Basis dann w1,w2,u1,u2 oder halt u1,u2,w1,w2.
Noch eine ergänzende frage: Wolfram hat in die Basis statt w1 (was ja die Kombination der Vektoren (0,1,-1,0) und (0,0,0,1) ist) nur den Vektor (0:1,-1,0) gewählt. Und w2 ist (-1,1,0,0). Habe ich das richtig verstanden, dass es mehrere Möglichkeiten zu der Basis gibt je nachdem wie man die linear unabhängigen Vektoren ergänzt. Oder fehlt mir da gerade der richtige Gedanke:-)