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K-Vektorräume mit genau einer Basis
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: eindeutige Basis, Vektorraum
 
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Hallo, also ich habe folgende Frage: Gegeben ist ein beliebeiger Körper K. Und ich soll nun alle K-Vektorräume bestimmen, die genau eine Basis haben. Und da finde ich iwie keinen Ansatz wie ich an die Sache rangehe. Vielen Dank schonmal für die Hilfe. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Bin mir nicht sicher ob ich deine Frage richtig verstanden habe, aber falls doch: Ich will dir die Antwort nicht direkt geben, nehmen wir an ein VR hat die Basis so hat dieser VR . auch die Basis B´=(2,0,0,0),(0,2,0,0)} und unendlich viele andere Basen die eben den selben Raum aufspannen. Aber das geht so nicht bei allen VR, du musst also nur die Ausnahme/n finden. |
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Ok ja hehe so weit war ich ja auch schon^^ Also zB der Nullraum hat nur eine Basis aber das kann ja nicht alles sein. Sprich es muss dann ja dann noch Basen geben, die nur Vektoren enthalten zu denen es keine linear abhängigen Vektoren gibt. Aber iwie komme ich da an genau dem Punkt nicht weiter. |
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normalerweise sollte die einzige Lösung die leere Menge sein, also der Nullraum als VR, es sei den man kreiert sich einen endlichen Körper mit Axiomen wie der . nur aus 1 und 0 besteht, Dann hätte dieser . als einzige Basis, da und und die andere Mögliche Basis könnte nicht auf 1 abbilden und wäre damit keine Basis, da kein Erzeugendensystem, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass sowas gefragt ist. Es könnt auch sein, dass der Körper nur als Basis hat, zumindest wenn das so def. ist mit Elemente aus also auch das a aus sein müsste (weiss es aber nicht mehr so genau), denn wenn das Basiselement dann . 2 wäre müsste a eine rationale Zahl sein um den Vektor darzustellen und Brüche sind ja nicht in was dazu führen würde, dass dort . die einzige Basis wäre. |
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Da ihr ofenbar tatsächlich beliebige Körper betrachtet, gibt es in einem K-Vektorraum genau dann genau eine Basis, wenn entweder nulldimensional ist oder isomorph zu und eindimensional. Die Begründung dürftest du schon finden (auch in obigen Antworten). |
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Hallo, wie sieht denn so eine Basis in einem nulldimensionalen Vektorraum aus? Gruß Rentnerin |
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Ui dankeschön ok ja klar damit komme ich weiter das klingt doch mal echt nach dem was ich gesucht habe. Und zur letzten frage die Basis des Nullraumes ist wie schon erwähnt immer die leere Menge. Klingt zwar komisch aber auch die ist eine einelementige Basis. ALso vielen Dank |
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Ist ja interessant, dass die leere Menge ein Erzeugendensystem eines Vektorraumes sein kann. Da habe ich aber jetzt etwas dazugelernt. |
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