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Kehrwert einer Folge

Schüler Gymnasium,

Tags: Beweis, Folgen, Kehrwert

anonymous

17:23 Uhr, 27.11.2017

Guten Abend,

ich schicke euch mal im Anhang eine Aufgabe - ich komme bei b) nicht mehr weiter.

Wie kann ich diese Aufgabe lösen? Also ich habe versucht, erst einmal die Konvergenz die Folge
über das Epsilon-Kriterium zu beweisen.

\to

Ich bleibe stecken.

Also dachte ich mir, dass ich das

ε

-Kriterium vielleicht gar nicht brauche, aber
wie soll ich dann vorgehen?

Über Antworten würde ich mich sehr freuen!! :-)

Liebe Grüße
Imahn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

17:48 Uhr, 27.11.2017

Hallo
schreib die Bedingung

x_{n} \to x

hin (mit

ε, N_{0}

dann die für 1/_xn->1/x
schließe von dem ersten auf das zweite.
Gruß ledum

anonymous

18:05 Uhr, 27.11.2017

Hi ledum,

laut Aufgabenstellung konvergiert

(x_{n})_{n \in ℕ}

.

Ergo gilt:

\forall ε \in ℝ

mit

ε > 0 \exists N \in ℕ :

∣ x_{n} - x ∣ < ε \forall n \geq N

, wobei

x \neq 0

der Grenzwert der Folge ist.

Analoges gilt für die Folge

(\frac{1}{x_{n}})_{n \geq n_{0}}

, wobei der Grenzwert

1 / x

ist:

∣ \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x} ∣ < ε \forall n \geq N

Okay, soweit habe ich nur die Definition der Konvergenz angewandt.
Wie kann ich nun von dem einen auf das andere schließen?

Ein großes Dankeschön soweit!

ledum aktiv_icon

18:09 Uhr, 27.11.2017

Hallo
indem du

\frac{1}{x} - \frac{1}{x_{n}}

auf den Hauptnenner bringst und den Nenner abschätzt, warum du nicht selbst mal umformst und rumprobierst ist eigenartig, wenn man lernen will.
Gruß ledum

anonymous

18:44 Uhr, 27.11.2017

Um ehrlich zu sein, hatte ich das schon vor einer Stunde getan, hatte aber keine Abschätzung probiert.

∣ \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x} ∣ = ∣ \frac{x - x_{n}}{x_{n} \cdot x} ∣ = \frac{∣ x - x_{n} ∣}{∣ x \cdot x_{n} ∣}

(die letzte Gleichheit stimmt, oder?)

Okay, du schreibst, dass ich jetzt sowohl eine Abschätzung ,,nach unten" als auch
,,nach oben" für den Nenner brauche.

Abschätzung nach unten:

0 < ∣ x_{n} \cdot x ∣

(der Betrag ist immer nicht negativ)

Jetzt muss ich noch nach oben abschätzen. Hier fällt mir aber keine geeignete ein ...

ledum aktiv_icon

19:56 Uhr, 27.11.2017

Hallo
wo soll ich das gesagt haben?

x_{n}

unterscheidet sich von

x

um maximal

ε_{1}

n > N_{1}

jetzt willst du |x-x–n/(x_n*x)<\epsilon wenn du den Nenner verkleinerst vergrößerst du den Bruch wodurch kannst du

x \cdot x_{n}

abschätzen? wie wärs etwa mit

x_{n} > \frac{x}{2}

? oder

x_{n} > 0.9 \cdot x

oder so was?
Gruß ledum

anonymous

21:19 Uhr, 27.11.2017

Okay, dann habe ich etwas missverstanden ... :-)

>

,,wodurch kannst du x⋅x_n abschätzen? wie wärs etwa mit

x_{n} > x / 2

?
Oder

x_{n} > 0, 9 x

oder so was?"

Warte mal, warum kann ich das denn einfach so machen? Könnte etwa nicht auch

x_{n} < 0, 5 x

richtig sein? Und für welche

n

gilt unsere Abschätzung?

Nehmen wir also mal, wie du vorschlägst,

x_{n} > 0, 5 x

an.

∣ \frac{x_{n} - x}{x_{n} \cdot x} ∣ = ∣ \frac{ε_{1}}{x_{n} \cdot x} ∣ > ∣ \frac{ε_{1}}{0, 5 x^{2}} ∣

x^{2} > 0

, da

x \in ℝ

ε_{1}

ist nach Definition der Konvergenz sowieso positiv.

Ergo folgt:

∣ \frac{x_{n} - x}{x_{n} \cdot x} ∣ > \frac{ε_{1}}{0, 5 x^{2}}

Ist es soweit richtig?

ledum aktiv_icon

21:38 Uhr, 27.11.2017

hallo
ich versteh die Richtung deiner

>

und

<

Zeichen nicht. was willst du denn erreichen? und du musst noch ein passendes

N

angeben.
Gruß ledum

anonymous

21:46 Uhr, 27.11.2017

Also um ehrlich zu sein, verstehe ich selber nicht ganz, was ich da gemacht habe.
Warum soll ich den Nenner abschätzen?
Wie soll ich das passende

N

finden?

Ich finde es super, dass du mir hilfst, ledum, aber leider hat es bei mir noch
nicht ,,klick" gemacht, wie ich weiter vorgehen soll.

By the way, hättest du vielleicht noch Zeit,
im Thread etwas zu dieser Frage zu schreiben:
www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-Bernouillsche-Ungleichung

Sei gegrüßt
Imahn

ledum aktiv_icon

22:37 Uhr, 27.11.2017

Hallo
du hast doch aufgeschrieben, was es bedeutet

\frac{1}{x_{n}} \to x

und

x_{n} \to x

da kommen

ε

und

N

vor!
für

x - x_{n}

weiss man dass man zu jedem

ε_{1}

ein

N_{1}

finden kann. wie musst du also

ε_{1}

wählen, damit du in bei

\frac{1}{x}

zu jedem

ε

ein

N

findest? und denke einen Moment (mindestens 10Min. ) nach bevor du nachfragst. teile die eigenen Überlegungen mit.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

23:11 Uhr, 27.11.2017

Hallo
du hast doch aufgeschrieben, was es bedeutet

\frac{1}{x_{n}} \to x

und

x_{n} \to x

da kommen

ε

und

N

vor!
für

x - x_{n}

weiss man dass man zu jedem

ε_{1}

ein

N_{1}

finden kann. wie musst du also

ε_{1}

wählen, damit du in bei

\frac{1}{x}

zu jedem

ε

ein

N

findest? und denke einen Moment (mindestens 10Min. ) nach bevor du nachfragst. teile die eigenen Überlegungen mit.
Gruß ledum

anonymous

21:53 Uhr, 28.11.2017

Hi ledum,

ich hatte bis jetzt keine Zeit gefunden, dir zu antworten.

Ich habe den Beweis in ,,Analysis I" (Forster) gefunden.

Imahn

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