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Kein Beweis für Multiplikation in Z?

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Beweis, Ganze Zahlen, Multiplikation, Relationen, Wohldefiniertheit

HateRecursion aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.11.2026

Ich möchte kurz etwas ansprechen. In der AGLA 1 Einheit haben wir heute ganzen Zahlen als Relationen auf N×N definiert (durch Äquivalenzklassen). Und dabei mussten wir nicht nur das einfach einführen, sondern auch beweisen. Das bedeutet - auch die Wohldefiniertbarkeit der Addition sowie Multiplikation. Das für die Addition wurde in der Einheit vorgestellt. Aber der Beweis für die Wohldefiniertbarkeit der Multiplikation wurde nicht vorgestellt. Der Professor meinte, dass wäre eine sehr gute Rechenübung für uns und wir sollen das selber Zuhause versuchen, weil das sehr ähnlich zur Addition funktioniert. Jetzt kommt es - der Beweis für die Wohldefiniertbarkeit der Addition findet man im Internet. Dasselbe aber für Multiplikation - nicht. Ich habe schon 3 Stunden oder so damit verbracht, alle Seiten durchzuschnuppern, um den Beweis zu finden. Und alles was gibt's, sind etweder Halunazionen von AI (die sagt an einer Stelle, dass

a \cdot b = c \cdot b

sich völlig auf so was wie

1 = 1

kürzen lässt
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ganze Zahlen addieren/subtrahieren
Multiplikation und Division von Brüchen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Randolph Esser aktiv_icon

00:31 Uhr, 06.11.2026

Hallo HateRecursion,

Entspreche also jedes

z \in ℤ

der Menge

{(a, b) \in ℕ^{2} : z = a - b},

d . h .,

die ganzen Zahlen entsprechen den Äquivalenzklassen der durch

(a, b) ~ (c, d) : \Leftrightarrow a + d = c + b

definierten Äquivalenzrelation auf

ℕ^{2}

.

Zunächst definieren wir überhaupt mal eine Multiplikation

auf den Elementen von

ℕ^{2},

die in diesem Kontext Sinn machen könnte:

Gilt

z_{1} = a - b, z_{2} = c - d

für

z_{1}, z_{2} \in ℤ, a, b, c, d \in ℕ,

so folgt jedenfalls

z_{1} \cdot z_{2} = (a - b) \cdot (c - d) = a \cdot c + b \cdot d - (a \cdot d + b \cdot c)

mit

a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c \in ℕ

.

Wir setzen also hoffnungsvoll

(a, b) \cdot (c, d) := (a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)

für alle

(a, b), (c, d) \in ℕ^{2}

.

Für die Wohldefiniertheit müssen wir nun noch zeigen, dass aus

(a, b) ~ (a', b'), (c, d) ~ (c', d')

für

(a, b), (c, d), (a', b'), (c', d') \in ℕ^{2}

auch

((a, b) \cdot (c, d)) ~ ((a', b') \cdot (c', d')),

also

(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) ~ (a' \cdot c' + b' \cdot d', a' \cdot d' + b' \cdot c'),

folgt.

Das kann man schlicht hinrechnen:

(a, b) ~ (a', b'), (c, d) ~ (c', d')

\Leftrightarrow

a + b' = a' + b, c + d' = c' + d

\Leftrightarrow

a - b = a' - b', c - d = c' - d'

\Rightarrow

(a - b) \cdot (c - d) = (a' - b') \cdot (c' - d')

\Leftrightarrow

a \cdot c + b \cdot d - (a \cdot d + b \cdot c) = a' \cdot c' + b' \cdot d' - (a' \cdot d' + b' \cdot c')

\Leftrightarrow

(a \cdot c + b \cdot d) + (a' \cdot d' + b' \cdot c') = (a \cdot d + b \cdot c) + (a' \cdot c' + b' \cdot d')

\Leftrightarrow

(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c) ~ (a' \cdot c' + b' \cdot d', a' \cdot d' + b' \cdot c')

.

Fertig !

Randolph Esser aktiv_icon

13:10 Uhr, 06.11.2026

Man kann nun auch noch weiter formalisieren:

Schreibt man etwa

[(a, b)]

für die Äquivalenzklasse von

(a, b) \in ℕ^{2},

also

[(a, b)] := {(c, d) \in ℕ^{2} : a + d = c + b},

so gilt

[(a, b)] \cdot [(c, d)] := [(a \cdot c + b \cdot d, a \cdot d + b \cdot c)]

für alle

(a, b), (c, d) \in ℕ^{2}

calc007

13:18 Uhr, 06.11.2026

Wenn ich an meine Grundschul-Zeiten zurückdenke, dann hat unsere Lehrerin uns zu verständigen gesucht, die Multiplikation als wiederholte Addition vor Augen zu führen.
Also

1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1 +

1 + 1 + 1

3 +

3 +

3 +

3

=

4 \cdot 3

wobei eben der zuletzt genannte Faktor "4" für die Anzahl an Summanden weiter oben steht.

Ich ahne schon, im Studium wird man das eben auf Prämissen und Definitionen zurückgeführt formulieren müssen,
- und bestimmt nicht nur für beispielhafte Exempel "3" und "4", sondern verallgemeinernd für beliebige Faktoren.
Aber im Prinzip läuft das sicherlich auch dann hierauf zurück.

Doppelbauer

15:09 Uhr, 06.11.2026

Man definiert die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen, das macht es etwas abstrakt und erfordert Sorgfalt.
Aus diesem Grund ist der Beweis oben nicht korrekt, weil er auf einem Zirkelschluß basiert.

Die Umformulierung
a+b'=a'+b <=> a-b=a'-b'
ist in an der Stelle keine zulässige formale Äquivalenzumformung, denn die Subtraktion ist in N nicht allgemein definiert (deshalb führt man ja gerade die ganzen Zahlen ein).

Analog:
Der Schritt

(a - b) (c - d) = (a ‘ - b ‘) (c ’ - d ‘)

setzt voraus, dass man bereits weiß, wie man Klammern mit negativen Zahlen ausmultipliziert. Auch das ist in N so nicht allgemein definiert.)

Randolph Esser aktiv_icon

17:35 Uhr, 06.11.2026

Da man sich in der Mathematik den Körper

ℝ

(mit allem drum und dran)
noch vor

ℕ, ℤ

und Co. axiomatisch zu beschaffen pflegt,
darf ich durchaus zwischendurch auf

ℝ

rechnen (also mit additiven Inversen),
und ich lande ja auch hinterher wieder bei einer Gleichung auf

ℕ

(Zudem verstehe ich die Aufgabe nicht so, dass ich eine Genese
der ganzen Zahlen tanzen soll, sondern eben nur, dass man die
ganzen Zahlen als oben definierte Mengen von Tupeln natürlicher
Zahlen auffassen kann).
Wem das nicht gefällt, der kann es vielleicht so machen (Kurzfassung):

Beweisführung (rein in

ℕ)

Gelte

a + b' = a' + b (I),

c + d' = c' + d (I I)

.

Wir nutzen das Distributivgesetz, das Kommutativgesetz,
das Assoziativgesetz und das Kürzen auf

ℕ

.

1. Multiplikation von

(I)

mit jeweils

c

und

d'

liefert

a \cdot c + b' \cdot c = a' \cdot c + b \cdot c,

a' \cdot d' + b \cdot d' = a \cdot d' + b' \cdot d'

.

2. Multiplikation von

(I I)

mit jeweils

a'

und

b

liefert

a' \cdot c + a' \cdot d' = a' \cdot c' + a' \cdot d,

b \cdot c' + b \cdot d = b \cdot c + b \cdot d'

.

3. Addition der jeweils linken und rechten Seiten
dieser vier Gleichungen liefert

(a \cdot c + b' \cdot c) + (a' \cdot d' + b \cdot d') + (a' \cdot c + a' \cdot d') + (b \cdot c' + b \cdot d)

= (a' \cdot c + b \cdot c) + (a \cdot d' + b' \cdot d') + (a' \cdot c' + a' \cdot d) + (b \cdot c + b \cdot d^{'})

.

4. Umordnen und Kürzen liefert

(a \cdot c + b \cdot d) + (a' \cdot d' + b' \cdot c') = (a' \cdot c' + b' \cdot d') + (a \cdot d + b \cdot c)

.

Hierbei braucht man aber immerhin noch die Kürzungsregel

a = b \Leftrightarrow a + c = b + c

für alle

a, b, c \in ℕ

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