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Kommutativität der Additionstheoremen gegeben?

Schüler Gymnasium,

Tags: Additionstheorem, Kommutativität, Trigonometrie

 
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peyer2

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22:20 Uhr, 01.06.2017

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Hallo allerseits!

Ich hänge gerade an einer Aufgabe im Zusammenhang mit affinen Abbildungen, bei der es zu zeigen gilt, dass man "Jede Drehung [...] als Verkettung von zwei Spiegelungen S1 und S2 darstellen [kann]."

Ich habe auch eine vielversprechenden Ansatz gefunden. Jetzt muss ich zum vereinfachen die Additionstheoreme anwenden und meine Frage ist im Grunde folgende:

Gilt für das 2. Additionstheorem:

cos(α-β)=cos(α)⋅cos(β)+sin(α)⋅sin(β)=cos(β)⋅cos(α)+sin(β)⋅sin(α)=cos(β-α)

denn eigentlich ist doch :

cos(α-β)≠cos(β-α)

Aber in dem Theorem müsste doch sowohl die Addition der Produkte als auch die Multiplikation der Edikte kommutativ sein?

Vielen Dank im Voraus !

Peter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

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peyer2

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22:23 Uhr, 01.06.2017

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Und wenn mir jemand zeigen könnte, wie ich Matrizen darstelle, dann könnte ich meine Problematik noch besser verdeutlichen...

Peter
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peyer2

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22:38 Uhr, 01.06.2017

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Das mit der Matrix habe ich rausgefunden...

Ich erhalte Folgendes aus der Verknüpfung von S1 und S2: (cos(2(φ-β)sin(2(β-φ))-sin(2(β-φ))cos(2(φ-β)))

Eine Drehung wird durch die allgemeine Matrix: D=(cos(α)-sin(α)sin(α)cos(α)) beschrieben.

Daraus würde folgen: α=>2(φ-β)=2(β-φ) Und diese Gleichung hat nur eine Lösung für β=φ und dann wäre α=0°, was aber dann wieder auf meine Abbildungsmatrix D bezogen die Einheitsmatrix ergäbe und damit eine Abbildung auf sich selbst darstellt..




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peyer2

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22:50 Uhr, 01.06.2017

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Oder gilt durch die Symmetrie der cos-Funktion cos(-α)=cos(α):

cos(2(φ-β))=cos(2(β-φ)) wodurch dann für α gilt: α=2(β-φ) mit α∈[0°;360°[.

Das würde meiner Meinung nach jetzt Sinne ergeben und meine Frage zu den Additionstheorem damit erübrigen. :-D)
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Werner-Salomon

Werner-Salomon aktiv_icon

10:40 Uhr, 02.06.2017

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Die Cosinus-Funktion ist eine gerade Funktion und damit symmetrisch zur Y-Achse - d.h. es gilt cos(α)=cos(-α). (siehe de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen#Gerade_Funktionen

Hier www.mathe-online.at/mathint/fourier/i.html findest Du ein Bild dazu.

Es folgt auch aus der Definition des Cosinus am Einheitskreis. Der Cosinus ist die Projektion des freien Schenkels auf die X-Achse. Dabei ist es egal, ob der Winkel positiv oder negativ ist.

Ebenso folgt auch aus der Taylorentwicklung des Cosinus, dass dies eine gerade Funktion ist, da dort nur gerade Potenzen vorkommen. ( de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Motivation_durch_Taylorreihen
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