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Komplexe Nullstellen Partialbruchzerlegung

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Tags: Partialbruchzerlegung

Eleonora71 aktiv_icon

18:49 Uhr, 10.07.2015

Hey, ich habe folgende Aufgabe und folgende Schwierigkeiten dabei:

Es sei

R : ℝ \ P \to ℝ

reelle rationale Funktion gegeben durch

R (t) := \frac{2 \cdot t^{4} - 4 \cdot t^{3} + 14 \cdot t^{2} - 20}{- 2 t^{3} + 2 t^{2} - 4} (t \in ℝ \ P)

wobei

P \subseteq ℝ

die Menge aller reeller Polstellen von

R

bezeichne!

Geben Sie zuerst die Menge der Polstellen an.

Eine Frage zu Anfang. Handelt es sich nicht um eine gebrochenrationale Funktion? Und nicht nur um eine rationale?

Die reelle Polstellenmenge ist ja

P = {- 1}

Bestimmen muss ich außerdem die kanonische Partialbruchzerlegung zu

R (t)

und außerdem soll ich eine

Stammfunktion

G (t)

also

G : ℝ \ P \to ℝ

R

in einer rein reellen Darstellung

(d . h

. ohne Verwendung von

j)

Also ich kann zuerst Polynomdivision machen. Dann vereinfacht sich der Ausdruck.

- t + 1 + \frac{12 t^{2} - 4 t - 16}{- 2 t^{3} + 2 t^{2} - 4}

Eine Nullstelle ist ja

- 1

mit Polynomdivision kann man dann weiter vereinfachen und es ergibt sich:

- 2 t^{2} + 4 t - 4

Mit PQ-Formel bekommt man dann die komplexen Lösungen:

1 + i

und

1 - i

Jetzt habe ich versucht die Partialbruchzerlegung auszunutzen, (siehe Wikipedia) de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Komplexe_Polstellen

Aber ich komme nicht auf diese Darstellung leider. Ich weiß nicht genau wie ich da ansetzen soll.

\frac{A}{t + 1 + i} + \frac{B}{t - 1 - i}

und eig ja noch

\frac{C}{1 + t}

aber ich komme dann nicht zu der Lösung. Man müsste eigentlich ja noch irgendwie im Nenner ein

t

einbringen bei der zweiten Konstanten, aber die Form ist anders mit den Nullstellen.

Ich gebe mal die Lösungen an:

R (t) = \frac{j - 3}{t + j - 1} + \frac{- j - 3}{t - j - 1} - t + 1

G (t) = - 3 ln (| t^{2} - 2 \cdot t + 2 |) + 2 a r c t a n (\frac{2 t - 2}{2}) - \frac{t^{2} - 2 t}{2}

Liebe Grüße

Elena! Und danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

19:37 Uhr, 10.07.2015

Der Bruchterm läßt sich noch durch

(t + 1)

kürzen ( falls

t \neq - 1)

Eleonora71 aktiv_icon

19:52 Uhr, 10.07.2015

Hey, du meinst wohl bei der Erweiterung?

\frac{C}{1 + t}

? Ich verstehe nicht das Aufstellen der Partialbruchzerlung. Bei Wikipedia wurde

i

.wie mit dem komplex-konjugierten gerechnet, da es ja auch eine Nullstelle war. Ich komme jedoch nicht zu der Lösung.

Weil normalerweise müsste es ja lauten:

\frac{A}{1 + t} + \frac{B t + C}{(t + i - 1) \cdot (t - j - 1)}

oder?

Elena

Respon

19:56 Uhr, 10.07.2015

\frac{12 \cdot t^{2} - 4 \cdot t - 16}{- 2 \cdot t^{3} + 2 \cdot t^{2} - 4} = \frac{4 \cdot (t + 1) \cdot (3 \cdot t - 4)}{- 2 \cdot (t + 1) \cdot (t^{2} - 2 \cdot t + 2)} = \frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2}

Daher KEIN

C!

Eleonora71 aktiv_icon

20:05 Uhr, 10.07.2015

Aber wie setze ich denn an mit den Koeffizienten? Ich blicke da nicht dem Schema hinter, was eig immer verwendet wird.

Es kommt ja noch ein

t

in den Zähler bei der komplexen Partialbruchzerlegung? Also mit komplexen Nullstellen eher gesagt.

Elena

Respon

20:11 Uhr, 10.07.2015

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{A + j \cdot C}{t - 1 - j} + \frac{B - j \cdot C}{t - 1 + j}

Respon

20:33 Uhr, 10.07.2015

. .

. und weiter.

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{A + j \cdot C}{t - 1 - j} + \frac{B - j \cdot C}{t - 1 + j} = \frac{(A + B) \cdot t - A - B - 2 \cdot C + j \cdot (A - B)}{t^{2} - 2 \cdot t + 2}

Koeffizientenvergleich ergibt:

A = - 3

B = - 3

C = - 1

\Rightarrow

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{- 3 - j}{t - 1 - j} + \frac{- 3 + j}{t - 1 + j}

Respon

20:45 Uhr, 10.07.2015

\int \frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} d t

Forme so um

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{- 6 \cdot t + 6}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} + \frac{2}{t^{2} - 2 \cdot t + 2}

Das Integral des ersten Bruches ergibt

- 3 \cdot ln | t^{2} - 2 \cdot t + 2) |

Das Integral des zweiten Bruches ergibt den

{tan}^{- 1}

. Entweder mit quadr. Ergänzung umformen oder die "fertige" Formel verwenden.

Respon

05:12 Uhr, 11.07.2015

Bezüglich Partialbruchzerlegung ein etwas "sicherer" Rechenweg.

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{A + j \cdot B}{t - 1 - j} + \frac{C + j \cdot D}{t - 1 + j} = \frac{(A + C) \cdot t - A - B - C + D + j \cdot [(B + D) \cdot t + A - B - C - D]}{(t - 1 - j) \cdot (t - 1 + j)}

Koeffizientenvergleich:

A + C = - 6

- A - B - C + D = 8

Der Vergleich des Imaginärteils liefert zwei Gleichungen:

B + D = 0

A - B - C - D = 0

\Rightarrow

A = - 3

B = - 1

C = - 3

D = 1

Also ebenfalls

\frac{- 3 - j}{t - 1 - j} + \frac{- 3 + j}{t - 1 + j}

Eleonora71 aktiv_icon

08:41 Uhr, 11.07.2015

Hey danke für die Hilfe. Der Knackpunkt steht für mich bei der Umformung fest:

\frac{12 \cdot t^{2} - 4 \cdot t - 16}{- 2 t^{3} + 2 \cdot t^{2} - 4} = \frac{4 \cdot (t + 1) \cdot (3 \cdot t - 4)}{- 2 \cdot (t + 1) \cdot (t^{2} - 2 \cdot t + 2)}

Kann ich es denn auch Lösen wenn ich diese Faktorisierung nicht erkenne?

Elena

Ps: Welche Formel wurde denn bei dem Ansatz im Bid (siehe Anhang) getan, das ist mir komplett neu.

Respon

08:55 Uhr, 11.07.2015

Ja, auch ohne Kürzen wäre es möglich, aber dann steigt auch der Rechenaufwand.
Zweite Frage:
Es wird ja dezidiert eine komplexe Partialbruchzerlegung verlangt. Daher muss ich für

A (\in ℝ)

eben die allgemeine Form einer komplexen Zahl

A + j \cdot B (\in ℂ)

verwenden.
Da ich die Lösung schon kannte, habe ich in der ersten Version eine Konstante "eingespart", ganz korrekt war das nicht. Die zweite Version ist da sicherer.

Eleonora71 aktiv_icon

09:37 Uhr, 11.07.2015

Erste Version, zweite Version, ich bin ein wenig verwirrt. Ich komme auch nicht auf ganz darauf wieso jetzt kein

t

im Zähler vorkommt, wie bei siehe Anhang. Da kommt ein

x

bei der Konstanten bzw. dem Koeffizienten

b_{1}

vor. Hier jetzt aber sehe ich das nicht? Wie kommt das zustande? Und in dem Beispiel wurde es noch auf den Hauptnenner gebracht, dann wird einfach der Zähler links von der Gleichung gleich dem Zähler rechts von der Gleichung gleichgesetzt, wobei der Zähler rechts von der Gleichung noch mit den erweiterten Termen aus dem Nenner multipliziert wird.

Elena

ledum aktiv_icon

14:35 Uhr, 11.07.2015

Hallo
1. in deinem Anhang ist

t

bzw.

x

eine Nullstelle des Nenners, in deinem Nennerpolynom nicht.
2. du sollst den Nenner in Linearfaktoren komplex zerlegen, dein Beispiel nicht, so dass dort das Polynom mit

x

2 s t e h e n b \leq i b t .

3. in deinem Bsp sind die

A, B

reell, bei dir komplex.
Du scheinst nicht ganz verstanden zu haben, was eine Partialbruchzerlegung ist. vielleicht schreibst du mal selbst auf, was du darunter verstehst!
Gruss ledum

Eleonora71 aktiv_icon

11:52 Uhr, 12.07.2015

Partialbruchzerlegungen nutze ich bei der Integration gebrochenrationaler bzw. rationaler Funktionen aus um diese aufzuteilen und separat zu integrieren. Wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist kann man zuerst eine Polynomdivision machen.

Man faktorisiert dann die Nullstellen aus dem Nenner heraus und setzt dann die Partialbruchzerlegung mit den Koeffizienten an. Danach bestimmt man

z . B

. durch Koeffizientenvergleich diese und somit eine kanonische Partialbruchzerlegung bzgl einer rationalen Funktion.

Bei der Findung der Nullstellen muss man aber gewisse Sachen berücksichtigen, (siehe doppelte Nullstelle, komplexe Nullstellen, manchmal ist es ja noch so dass man obwohl eine in der Aufgabenstellung reelle Funktion, die komplexen Nullstellen trotzdem berücksichtigen muss.

"1. in deinem Anhang ist

t

bzw.

x

eine Nullstelle des Nenners, in deinem Nennerpolynom nicht."

In meinem Nennerpolynom nicht? Ich verstehe diese Aussage nicht. Es geht ausschließlich um Nullstellen des Nenners, wo jetzt in meinem Nennerpolynom keine Nullstelle sein soll, verstehe ich nicht.

2. "du sollst den Nenner in Linearfaktoren komplex zerlegen",

wann und woran erkenne ich dass? Ich meine ich habe bei beiden Funktionen, sowohl im Beispiel bei Wikipedia komplexe Nullstellen als auch in meiner Aufgabe. Einmal wird jetzt der Nenner in Linearfaktoren komplex zerlegt werden und dann in meinem Beispiel wieder nicht? Wie soll ich den Sinn und das Vorgehen erkennen? Die Bedingung siehe Anhang kann ich leider nicht entziffern

: (

3. "in deinem Bsp sind die

A, B

reell, bei dir komplex."

In dem Beispiel sind

A, B

reell? Wieso? Wieso sind dann in meinem Beispiel diese komplex.

Ich würde behaupten ich habe Probleme bei der Umsetzung der Partialbruchzerlegung, aber ich habe verstanden was ich davon habe.

Ich danke herzlich,

Elena

Respon

11:59 Uhr, 12.07.2015

"Es wird ja dezidiert eine komplexe Partialbruchzerlegung verlangt"

d . h

. Partialbruchzerlegung mit KOMPLEXEN Zählern !
( siehe auch deine angeführte Lösung ganz am Anfang - Das war Aufgabenstellung

)!

Eleonora71 aktiv_icon

12:21 Uhr, 12.07.2015

"Es wird ja dezidiert eine komplexe Partialbruchzerlegung verlangt."

Wo exakt wird dies verlangt? Unter

t \in ℝ \ P

wobei

P

die reelle Polstellenmenge ist.

Das ist mir noch nicht klar, woran ich jetzt genau erkenne, dass ich komplexe Koeffizienten einführe?

Und wie sieht das

z . B

. bei der Nullstelle

x = 0

aus setze ich dann mit

\frac{A + j B}{x}

an?

Dabei ist aber doch Null keine komplexe Zahl?

Elena

Respon

12:24 Uhr, 12.07.2015

Ich zitiere aus deinem Post von

10.07

18 : 49

"Ich gebe mal die Lösungen an

: R (t) = \frac{j - 3}{t + j - 1} + \frac{- j - 3}{t - j - 1} - t + 1

"
Also Partialbruchzerlegung mit KOMPLEXEN Zählern.

Eleonora71 aktiv_icon

12:25 Uhr, 12.07.2015

Ja absolut. Das soll die Lösungen ergeben. Laut Aufgabenstellung (ohne sehen der Lösung) wüsste ich aber nicht wie ich es mir zurechtreimen soll, ob komplexe Koeffizienten oder nicht.

Elena

Respon

12:31 Uhr, 12.07.2015

Doch !
Wenn du es nicht wüsstest, würdest du naiv eine "normale" Partialbruchzerlegung versuchen. Die führt dann allerdings zu einem Wiederspruch.
Versuch mal folgende Partialbruchzerlegung mit REELLEN Zählern durchzuführen

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} = \frac{A}{t + j - 1} + \frac{B}{t - j - 1}

Wenn wir im reellen Bereich bleiben sollen, dann ist die
Partialbruchzerlegung von

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2}

nämlich wieder

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2}

Roman-22

12:33 Uhr, 12.07.2015

> 2

. "du sollst den Nenner in Linearfaktoren komplex zerlegen",

> >

wann und woran erkenne ich dass?

An der Angabe, so wie du sie in deinem ersten Posting wiedergegeben hast, gar nicht.
Da ist bloß eine "kanonische Partialbruchzerlegung". Das ist nun aber kein Fachbegriff und das Wort kanonisch (bedeutet von seinem Wortursprung her so etwas wie "regelmäßig") wird in der Mathematik idR dann verwendet, wenn es um etwas Natürliches, etwas "Normales" geht. Also etwa kanonsiche Basis oder kanonischer Homomorphismus.

Heißt hier also bloß so etwas wie "Mach eine ganz normale Partiablbruchzerlegung, so wie wir das immer gemacht haben". Da wir nicht in deiner Vorlesung sitzen , können wir nicht wissen, was bei euch so üblich war. Ich hätte mit dieser Angabe allein keinesfalls die PBZ ins Komplexe gezogen sondern wäre (so wie bei der Aufgabe in deinem Link) brav im Reellen geblieben. Auch schon in Hinblick darauf, dass die komplexe Zerlegung für die nachfolgend verlangte Integration nicht hilfreich ist.
Ich hätte es also bei

- t + 1 - \frac{6 t - 8}{t^{2} - 2 t + 2}

belassen.

Es gibt einen einzigen Anhaltspunkt, der uns dazu bewegt, den Nenner in komplexe Linearfaktoren zu zerlegen und das ist die Musterlösung, die du am Ende deiner Frage angibst. Wir müssen annehmen, dass es sich um eine "offizielle" Lösung des Dozenten oder Profs handelt, andernfalls

...

. Jedenfalls ist dort ersichtlich, dass die Zerlegung ins Komplexe geführt wurde und so können wir daraus schließen, dass das für euch kanonisch ist. Du solltest das natürlich von deinem Vorlesungs- und evt. Übungsbesuch her wissen - wir waren nicht dabei.

R

Respon

12:41 Uhr, 12.07.2015

Wenn wir im reelen Bereich bleiben, dann ist die "Partialbruchzerlegung" von

\frac{2 \cdot t^{4} - 4 \cdot t^{3} + 14 \cdot t^{2} - 20}{- 2 \cdot t^{3} + 2 \cdot t^{2} - 4}

nämlich

\frac{- 6 \cdot t + 8}{t^{2} - 2 \cdot t + 2} - t + 1

Das ist aber nichts anderes als das Ergebnis der Poynomdivision.
Eine "reelle" Partialbruchzerlegung kann nicht durchgeführt werden.

Roman-22

12:52 Uhr, 12.07.2015

So hab ichs auch angegeben.

>

Eine "reelle" Partialbruchzerlegung kann nicht durchgeführt werden.
Ja, sagen wir lieber, dass eine "klassische" Zerlegung nicht angewendet werden muss, da wir nach dem Kürzen und der Polynomdivision schon fertig sind.

Wäre nicht die einzige derartige Aufgabe, die im Ausbildungsbereich gern gestellt wird, bei der man das üblicherweise nötige Kalkül gar nicht anwenden muss. Denke da an Dinge wie "Bestimme die McLaurin-Reihe der Funktion

f (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4

". ;-)

Damit, dass man ja gar keine Zerlegung machen müsste, wenn man im Reellen bliebe, kann man hier also nicht argumentieren. Im vorliegenden Fall ist für uns die Musterlösung tatsächlich der einzige Hinweis darauf, dass im Komplexen gearbeitet werden soll.
Das Beiwort "kanonisch" ist hier genau so schlampig, also hätte der Aufgabensteller "so wie immer" geschrieben, klingt aber ungleich präziser und professioneller.

R

Eleonora71 aktiv_icon

13:36 Uhr, 12.07.2015

So ist der Professor große Worte, große Ansprüche jedoch, selbst unklar und nicht eindeutig.

Der Orginallaut der Aufgabe und Lösung siehe Anhang. Ich finde es formal auch nicht sauber. Vor allem der letzte Teil der Integration. Ich soll einfach integrieren, und soll mir dabei alle

j' s

wegdenken?

Ich versuche es mal nochmal selbst:

\frac{12 t^{2} - 4 t - 16}{- 2 t^{3} + 2 t^{2} - 4}

Jedoch ohne das Kürzen von

t + 1,

weil ich es bei einer erneuten Aufgabe nicht sehen würde.

\frac{12 t^{2} - 4 t - 16}{- 2 t^{3} + 2 t^{2} - 4} = \frac{A + j B}{t + 1} + \frac{C + j D}{t + j - 1} + \frac{E + j F}{t - j - 1 j}

Ist das so richtig? Doppelte Nullstellen setzt man dann quadratisch im Nenner an. Was hat es aber jetzt auf sich noch mit dem

x

im Zähler bei dem Beispiel bei Wikipedia:

\frac{a_{1}}{x} + \frac{b_{1} x + c_{1}}{x^{2} + 1}

Wie kommt das

x

vor dem

b_{1}

zustande?

Elena

abakus

13:54 Uhr, 12.07.2015

"Wie kommt das x vor dem b_1 zustande?"
Das ist der übliche Ansatz, wenn im Nenner ein quadratischer Term verbleibt, der sich nicht in reelle Linearfaktoren zerlegen lässt.

Roman-22

18:08 Uhr, 12.07.2015

Bei einfachen Nennernullstellen gilt:
Ist der Nenner des Partialbruchs ein quadratischer Ausdruck, so ist der Zähler als linearer Ausdruck anzusetzen.
Ist der Nenner aber linear, so ist der Zähler ein Skalar.

Wann haben wir einen quadratischen Ausdruck in Nenner? Das tritt dann auf, wenn dieser Ausdruck im Reellen nicht faktorisierbar ist und wir nicht ins Komplexe ausweichen wollen/können/sollen.

Im komplexen lässt sich jedes Polynom in Linearfaktoren zerlegn, sodass wir hier im Zähler immer nur Skalare(aber eben uU komplexe) haben.

Beispiel:

\frac{9 x^{2} - 6 x + 5}{x^{3} + x}

lässt sich im Reellen zu

\frac{5}{x} + \frac{4 x - 6}{x^{2} + 1}

zerlegen, im Komplexen aber noch weiter zu

\frac{5}{x} + \frac{2 + 3 j}{x - j} + \frac{2 - 3 j}{x + j}

mit durchgehend linearen Nennern und Skalaren im Zähler.

Viele Quellen (so offenbar auch jene, die du desöfteren zitierst) behandeln die PBZ ausschließlich im Reellen.

R

Eleonora71 aktiv_icon

19:52 Uhr, 12.07.2015

Okay, vielen lieben Dank Mr.

R!

Das hat mir jetzt glaube ich endlich Klarheit verschafft! Super!

Ist denn die PBZ von meinem Beitrag

13 : 36

Uhr,

12.07.2015

also:

\frac{A + j B}{t + 1} + \frac{C + j D}{t + j - 1} + \frac{E + j F}{t - j - 1}

richtig?

Elena

Roman-22

20:14 Uhr, 12.07.2015

Hat nicht Respon vor längerer Zeit diese PBZ komplett vorgerechnet?

Also, grundsätzlich passt dein Ansatz, aber da ich annehme, dass auch du nicht der Feind deiner Lebenszeit bist, solltest du dir doch ein paar Vereinfachungen überlegen:

1)

nachdem in der Angabe alle Koeffizienten reell sind, kann der Zähler des ersten Bruchs (mit dem reellen linearen Nenner) auch nur reell sein.

B = 0

ist also bekannt.

2)

Ähnlich könnte man sich auch überlegen, dass C+Dj und E+Fj konjugiert komplex sein müssen, also wieder zwei Variable weniger.

3)

Das halte ich für wichtig und unumgänglich, auch wenn du früher geschrieben hast, dass du es deswegen nicht machen möchtest, weil du Bedenken hast, die Möglichkeit beim nächsten Beispiel nicht zu erkennen

\to

kürzen der Angabe durch

(x + 1)

.
Um das zu erkennen ist im Grunde weder Erfahrung noch Fingerspitzengefühl vonnöten.
Du bestimmst bei jeder neuen Angabe doch ohnedies die Nullstellen des Nenners. Dann nimm alle reellen Nullstellen des Nenners her (das ist in deinem Beispiel nur

x = - 1)

und setze sie stur in das Zählerpolynom ein. Kommt einmal Null raus, dass kannst du den Bruch kürzen (und zwar durch (x-Nullstelle), hier also durch

(x - (- 1)) = (x + 1))

und solltest das unbedingt auch tun.
Natürlich könnte jetzt ein im Reellen nicht mehr reduzierbarer quadratischer Faktor auch gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein. Also bei deinem Beispiel hätte der Zähler uU auch durch

(t^{2} - t + 2)

teilbar sein können. Da sind wir aber jetzt an einem Punkt, wo es abzuwägen gilt, was in Summe weniger Aufwand bedeutet. Bei jedem Beispiel auch diese quadratischen Terme in Bezug auf Teilbarkeit durchzuprobieren oder in solchen Fällen stur mit der PBZ zu beginnen.

R

Respon

20:21 Uhr, 12.07.2015

Der gemeinsame Nenner deiner drei Brüche würde

t^{3} - t^{2} + 2

ergeben. Vergleiche mit dem Nenner der Angabe ( Problem bei Koeffizientenvergleich

!)

Roman-22

20:28 Uhr, 12.07.2015

>

Der gemeinsame Nenner deiner drei Brüche würde

t 3 - t 2 + 2

ergeben.

>

Vergleiche mit dem Nenner der Angabe ( Problem bei Koeffizientenvergleich

!)

Das passt doch grundsätzlich.
Und vor dem Koeffizientenvergleich müssen Rechts- und Linksterm ja ohnedies erst gleichnamig gemacht werden, sonst steht da ja nichts Vergleichbares. Im Zuge dessen müsste eben entweder der Rechtsterm noch mit

- 2

erweitert werden oder besser der Linksterm durch

- 2

gekürzt.

R

Eleonora71 aktiv_icon

20:44 Uhr, 12.07.2015

Muss man zwingend den linken Term kürzen? Und wieso gerade noch mit

- 2

? Die zwei sehe ich, dass man sie kürzen kann, aber das Minus?

Elena

Respon

20:50 Uhr, 12.07.2015

Die Nenner müssen übereinstimmen.

Eleonora71 aktiv_icon

21:07 Uhr, 12.07.2015

Okay. Ich habe dann im linken Term jeweils

- 2

im Zähler und Nenner ausgeklammert und habe gemerkt, dass die eine komplexe Nullstelle falsch ist. Diese sind ja

1 + i

und

1 - i

also

t + 1 + i

und

t + 1 - i

\frac{- 6 t^{2} + 2 t + 8}{t^{3} - t^{2} + 2} = \frac{A + j B}{t + 1} + \frac{C + j D}{t + 1 + j} + \frac{E + j F}{t + 1 - j}

So stimmt es?

Elena

Respon

21:11 Uhr, 12.07.2015

Die komplexen Nullstellen waren

1 + j

bzw.

1 - j

Daher die Nenner

t - (1 + j) = t - j - 1

und

t - (1 - j) = t + j - 1

Respon

21:26 Uhr, 12.07.2015

\frac{- 6 \cdot t^{2} + 2 \cdot t + 8}{t^{3} - t^{2} + 2} = \frac{A + j \cdot B}{t + 1} + \frac{C + j \cdot D}{t + j - 1} + \frac{E + j \cdot F}{t - j - 1}

6 Unbekannte, 6 Gleichungen. Wenig überraschend erhalten wir:

A = 0

B = 0

C = - 3

D = 1

E = - 3

F = - 1

Eleonora71 aktiv_icon

21:41 Uhr, 12.07.2015

Okay, stimmt die Nullstellen muss man so berücksichtigen. Du hast jetzt aber die Koeffizienten nicht scharfem Hinsehen ermittelt?

Elena

Respon

21:48 Uhr, 12.07.2015

Nein, ich habe ganz traditionell einen Koeffizientenvergleich durchgeführt, erhalte 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten und habe dieses LGS gelöst ( Gussverfahren ).
War für mich als Übung gedacht.
Wegen

A = 0

und

B = 0

erkennt man nachträglich, dass dieser erste Bruch nicht wirklich notwendig gewesen wäre.

Respon

22:11 Uhr, 12.07.2015

Alles klar ? Das noch ausstehende Integral ist ja weiter oben schon abgearbeitet worden.
Muss offline gehen.
Weiterhin noch viel Spass mit der Mathematik.

Eleonora71 aktiv_icon

22:16 Uhr, 12.07.2015

Okay, vielen Dank!

Elena

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