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Konvergenzradius des Cauchy-Produkts

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Cauchy Produkt, Konvergenzradius, Potenzreihe

Toske-Boss aktiv_icon

10:48 Uhr, 06.11.2016

Hallo Leute

Gegeben ist folgende Aufgabe:

a)

Seien

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cdot z^{n}

und

\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \cdot z^{n}

zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius

L_{a}

und

L_{b}

. Zeigen Sie, dass der Konvergenzradius

L

des Cauchy-Produktes

L > min {L_{a}, L_{b}}

erfüllt.

b)

Finden Sie zwei Reihen mit Konvergenzradius

L_{a}

und

L_{b},

sodass der Konvergenzradius des Cauchy-Produkts grösser als

min {L_{a}, L_{b}}

ist.

c)

Finden Sie zwei Reihen mit Konvergenzradius

L_{a}

und

L_{b},

sodass der Konvergenzradius des Cauchy-Produkts genau

min {L_{a}, L_{b}}

ist.

Zunächst habe ich bei

a)

den Konvergenzradius von den ersten Potenzreihen bestimmt:

L_{a} = | \frac{a_{n} z^{n}}{a_{n + 1} z^{n + 1}} | = \frac{a_{n}}{a_{n + 1} z}

bzw.

L_{b} = | \frac{b_{n} z^{n}}{b_{n + 1} z^{n + 1}} | = \frac{b_{n}}{b_{n + 1} z}

. Dann das Cauchy-Produkt, ich nenne es

c_{n}

c_{n} = \sum_{j + k = n} (a_{j}) \cdot z^{j} \cdot (b_{k}) z^{k}

. Ich weiss nicht ganz, ob das stimmt, doch auch falls es stimmen sollte, weiss ich nicht, wie ich den Konvergenzradius des Cauchy-Produkts bestimmen kann. Ich müsste vermutlich das Summenzeichen irgendwie wegbekommen. Hat jemand eine Idee, wie ich vorgehen könnte? Die Aufgaben

b)

und

c)

können vermutlich ohne

a)

nicht gelöst werden. Vielen Dank schon mal :-)

Liebe Grüsse
Toske-Boss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

11:18 Uhr, 06.11.2016

Die richtige Formel für

c_{n}

ist ohne

z

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}

.

Der einfachste Beweis nutzt einfach die Tatsache, dass man in einer absolut konvergenten Reihe die Reihenfolge der Summanden ändern darf.
Denn wenn

∣ z ∣ < min {L_{a}, L_{b}}

, dann konvergieren

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}

und

\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}

, daher konvergiert auch

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}) z^{n}

, wo ich die Summanden schon passen umgestellt habe.

Toske-Boss aktiv_icon

11:44 Uhr, 06.11.2016

Alles klar; vielen Dank. Noch eine Frage: Wieso können beim Cauchy-Produkt die Terme mit

z

weggelassen werden?

DrBoogie aktiv_icon

14:22 Uhr, 06.11.2016

Können sie nicht. Aber in einer Potenzreihe

\sum a_{k} z^{k}

betrachtet man Koeffizienten

a_{k}

, die von

z

nicht abhängen, halt separat, das ist die übliche Vorgehensweise. Das ist wichtig z.B. für die Formel für Konvergenzradius, da darf nur

a_{k}

drin stehen, aber nicht

a_{k} z^{k}

, sonst wird es sinnlos.

Toske-Boss aktiv_icon

14:25 Uhr, 06.11.2016

Ok super; vielen Dank!

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