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Koordinatenabbildung, inverse bestimmen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: basis, invers, Koordinatenabbildung, Matrix, polynom

 
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Skyaya

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20:25 Uhr, 08.09.2011

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Liebe Leute,

ich brauche wieder mal ein Denkanstoß zu einer Frage (siehe Bild). Also, die Frage ist, wie ich hier vorgehen muss

Die Koordinatenabbildung KB: R≤2→R3 bzgl einer Basis B=P1,P2,P3 sei gegeben durch KB ax² + bx+ c=[a-c;a+b;b+2c]

Besimmen soll ich jetzt die Inverse von KB.

1. würde ich versuchen das Polynom in eine Matrix umzuwandeln, ist das möglich bzw günstig?

dann weiß ich nicht mehr weiter. Für eine detaillierte Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Die Koordinatenabbildung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
The3hadow

The3hadow

13:50 Uhr, 09.09.2011

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KB:ℝ≤2[x]→ℝ3,a⋅x2+b⋅x+c↦[a-ca+bb+2c]

Die inverse Abbildung müsste dann wiefolgt aufgebaut sein:
KB-1:ℝ3→ℝ≤2[x],[efg]↦h⋅x2+i⋅x+j

h,i und j sind hier die drei Unbekannten, die es zu bestimmen gilt.

Ansatz:
KB(KB-1([efg]))=KB(h⋅x2+i⋅x+j)

⇔[efg]=[h-jh+ii+2j]

Gleichungssystem:
I: e=h-j⇒h=e+j
II: f=h+i⇒f=e+j+i⇔i=f-e-j
III: g=i+2j⇒g=f-e-j+2j⇔j=g-f+e

i=f-e-g+f-e⇔i=2f-2e-g
h=e+g-f+e⇔h=2e+g-f

Das heißt, die inverse Abbildung sieht so aus:
KB-1:ℝ3→ℝ≤2[x],[efg]↦(2e+g-f)⋅x2+(2f-2e-g)⋅x+(g-f+e)
Frage beantwortet
Skyaya

Skyaya aktiv_icon

19:59 Uhr, 09.09.2011

Antworten
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Schönes WE noch...