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Koordinatenvektor bezüglich Basis bestimmen

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Tags: Eigenwert, Koordinatentransformation, Matrizenrechnung, Vektorraum

discmaster aktiv_icon

16:54 Uhr, 21.04.2012

Liebe Community,

ich habe eine Aufgabe bei der ich nicht so recht verstehe was der Prof von mir will:

Gegeben sei die Basis

f_{1}, f_{2}, f_{3}

von

ℝ^{3}

durch

f_{1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}), f_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}), f_{3} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

.
Bestimmen Sie den Koordinatenvektor des Vektors

v = (\begin{array}{rcl} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

bezüglich der Basis

f_{1}, f_{2}, f_{3}

.

Ich habe leider keinen Hauch von einem Ansatz was ich jetzt machen soll - Hilfe!

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

16:58 Uhr, 21.04.2012

Hallo,

löse

α (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{array}) + β (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + γ (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

, dann ist der gesuchte Vektor gleich

(\begin{array}{c} α \\ β \\ γ \end{array})

.

Mfg Michael

discmaster aktiv_icon

22:17 Uhr, 22.04.2012

Ah! Jetzt versteh ich ich auch was das Skript sagen will! Aber jetzt gibts eine zweite Teilaufgabe die auch noch in das Kapitel gehört - da fehlt mir auch noch ein Denkanstoß:

Gegeben sei die lineare Abbildung

g : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

mit

g (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (\begin{array}{rcl} 2 x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + 3 x_{2} - x_{3} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{array})

.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von g bezüglich der Basis

f_{1}, f_{2}, f_{3}

.

Ich dachte mir jetzt folgendes: Die gegebene Abbildungsmatrix ist

A = (\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & - 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array})

.

Und aus der "Basismatrix"

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{array})

besorge ich mir die Eigenwerte und baue daraus die Transformationsmatrix C.

Dann kann ich die gefragte Darstellungsmatrix

B = C^{- 1} A C

ausrechnen.

Ist diese Vorgehensweise richtig? Wenn ja, dann bräuchte ich Hilfe um an die Eigenwerte zu kommen, weil ich komm nich recht drauf (also ich weiß wies geht, aber ich kanns nich lösen...)

Danke einstweilen!

michaL aktiv_icon

07:21 Uhr, 23.04.2012

Hallo,

ist schon toll, was alles an Infos so in einem Script/einer Mitschrift verborgen sind, gell?

Bei der zweiten Aufgabe musst du keine Eigenwerte herausfinden. Du sollst die Basis wechseln!
Nennen wir deine Basis mit den Vektoren

f_{1}, f_{2}, f_{3}

mal

B

A

ist bzgl. der Standardbasis

E

zu verstehen, d.h. es gilt

A = M_{E}^{E} (g)

(bedeutet: Matrix von

g

, Eingang bzgl.

E

, Ausgang bzl.

g

).

Zwischen

M_{E}^{E} (g)

und

M_{B}^{B} (g)

besteht folgender Zusammenhang:

M_{B}^{B} (g) = W^{- 1} M_{E}^{E} (g) W

, wobei

W

die Wechselmatrix angibt, mit der man einen Vektor bzgl

B

multiplizieren muss, um seine Darstellung bzgl.

E

zu erhalten.

Ok, ich weiß: recht abstrakt. Stimmt. Aber einfach. Will sagen: steckt nichts dahinter!
Wie man

W

erhält, ist durch die Aufgabe mit dem Vektor

v

eingeleitet worden. Wenn du da keinen speziellen sondern einen allgemeinen Vektor nimmst, kommst du auf die Matrix

W

.

Mfg Michael

EDIT: Korrektur

Paulus

08:57 Uhr, 23.04.2012

gelöscht

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