Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kreisabschnitsformel mit nur 2 Größenangaben

Kreisabschnitsformel mit nur 2 Größenangaben

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel, Näherungsformel

Knubbel aktiv_icon

01:32 Uhr, 03.05.2016

Hallo Ihr Mathematiker!

Ich habe in meinem Berufsleben immer nach einer Lösungsformel zu einem Problem gesucht, diese aber bis heute nicht gefunden.

Bei einem Kreisabschnitt gibt es folgende Abmessungen:

r =

Radius

s =

Spannweite
α = Zentriwinkel

f =

Stich, Höhe des Kreisabschnitts

b =

Bogenlänge

Zur Berechnung dieser 5 Größen benötigt man allgemein nur 2 Angaben, wie folgt:

r =

Radius; α = Zentriwinkel

r =

Radius;

s =

Spannweite

r =

Radius;

b =

Bogenlänge

r =

Radius;

f =

Stich
α = Zentriwinkel;

f =

Stich
α = Zentriwinkel;

s =

Spannweite
α = Zentriwinkel;

b =

Bogenlänge

s =

Spannweite;

f =

Stich

Nun kommt mein Problem:
Wenn ich nur 2 Angaben benötige um alle Parameter ermitteln zu können, warum ist es schwierig mit den 2 Vorgaben

s =

Spannweite und

b =

Bogenlänge die Probleme zu meistern, wie heißt dann die Lösungsformel mit der ich die anderen Parameter bestimmen kann?

Für jeden Hinweis bin ich schon heute dankbar.
Mit freundlichen Grüßen Knubbel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

02:50 Uhr, 03.05.2016

Hallo,

r = \frac{4 \cdot f^{2} + s^{2}}{8 \cdot f}

Quelle: de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment (bis auf, dass dort

f

wohl

h

heisst)

"Ich habe in meinem Berufsleben immer nach einer Lösungsformel zu einem Problem gesucht, diese aber bis heute nicht gefunden."

Mhhhhm, ich habe keine 5 Minuten gebraucht. Krieg' ich jetzt die Jahre Deines Berufslebens auf meinem Rentenkonto gutgeschrieben? Vielleicht kann ich damit dann schon in Rente gehen...

Knubbel aktiv_icon

09:24 Uhr, 03.05.2016

Hi!
Was hat deine Antwort mit meinem Problem zu tun?
Ausgangsgrößen sind b=Bogenlänge und s=Spannweite.

Für meinen Rentenanteil musst du halt noch was tun.

mfg Knubbel

funke_61 aktiv_icon

10:53 Uhr, 03.05.2016

Hallo,
wenn ich Dich richtig verstehe, willst Du mit

s =

Spannweite
und

b =

Bogenlänge
die anderen Parameter eines beliebigen Kreissegmentes bestimmen.
beginnen wir mal mit dem Radius

r

Aus Wikipedia:

r = \frac{s}{2 sin (\frac{α}{2})}

um hier die Bogenlänge

b

in die Formel für

r

einzubringen, könnte man versuchen,
mit

b = r \cdot α \Rightarrow α = \frac{b}{r}

α

zu ersetzen, also

r = \frac{s}{2 sin (\frac{\frac{b}{r}}{2})} = \frac{s}{2 sin (\frac{b}{2 r})}

Da nun aber

r

sowohl die gesuchte Größe ist, als auch im Argument des Sinus vorkommt, ist diese Gleichung nicht mehr algebraisch nach

r

auflösbar.
Daher gibt es keine Formel in die man nur

b

und

s

einzusetzen braucht, um zB.

r

zu ermitteln.

Um

r

zu ermitteln muss also die Gleichung

\frac{s}{2 sin (\frac{b}{2 r})} - r = 0

mit nummerischen Mitteln gelöst werden.
;-)

Knubbel aktiv_icon

14:39 Uhr, 03.05.2016

Hallo Funke! Hallo Ihr Mathematiker!

"Ich habe in meinem Berufsleben immer nach einer Lösungsformel zu einem Problem gesucht, diese aber bis heute nicht gefunden." War mein Anfangstext zu meiner Frage.

Du beschreibst in deiner Ableitung, dass es für dieses Problem keine exakte mathematische Lösung gibt. Entspricht auch meiner Berufserfahrung.

Dennoch möchte ich mich damit nicht zufrieden geben.

Hier in diesem Mathe-Forum muß es doch jemanden geben, der hierzu eine Lösung anbieten kann. Denkbar wäre

z . B

. eine Näherungsformel (mit hinreichender Genauigkeit).

Freue mich auf weitere Antworten.

mfg Knubbel

funke_61 aktiv_icon

15:13 Uhr, 03.05.2016

www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreissehnen.htm
Arnd Brünner liefert auf dieser Seite (falls erforderlich mit Hilfe der jeweils angegebenen Näherungen) für

m

. E. jedes Problem zum Kreisabschnitt eine Lösung.
Probier es mal aus und entscheide, ob sich Deine Bedürfnisse so erfüllen lassen.
;-)

Knubbel aktiv_icon

23:08 Uhr, 03.05.2016

Nein!

Erfüllt nicht meinen Wunsch. Diese Seite kenne ich schon länger.

Ich wünsche mir eine Formel / Näherungsformel mit der diese 2 Vorgaben zur Lösung führt.

Vor vielen Jahren hat mir mal ein mathematisch gut versierter Statiker eine Ableitung zur Sinusabhängigkeit gegeben und so eine glaubhafte Näherungsformel erstellt. Leider habe ich diese Unterlage inzwischen verloren.
Ich weis daher, dass es eine Möglichkeit gibt das Problem zu lösen.

Hier sollte doch ein Mathematiker sein, der sich dieser Herausforderung stellt.

mfg Knubbel

Edddi aktiv_icon

20:17 Uhr, 04.05.2016

2 \cdot r \cdot sin (\frac{b}{2 \cdot r}) = s

Subst.

x = \frac{b}{2 \cdot r} \Rightarrow 2 \cdot r = \frac{b}{x}

\frac{b}{x} \cdot sin (x) = s

mit

sin (x) \approx x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}

ist der Fehler für

x < \frac{π}{2}

weniger als ein halbes Prozent.

Da

\frac{b}{2 \cdot r} < \frac{b}{s}

und

b < \frac{π \cdot s}{2}

folgt

\frac{b}{2 \cdot r} < \frac{b}{s} < \frac{π}{2}

Somit sollte die Näherung funzen.

\frac{b}{x} \cdot (x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}) \approx s

\frac{b}{120} \cdot x^{4} - \frac{b}{6} \cdot x^{2} + (b - s) \approx 0

x^{4} - 20 \cdot x^{2} + 120 - 120 \cdot \frac{s}{b} \approx 0

Subst.

x^{2} = p

{(p - 10)}^{2} = 120 \cdot \frac{s}{b} - 20

Resubst.

x_{1} = \sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}}

x_{2} = \sqrt{10 - 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}}

Resubst.

p_{1} = 10 + 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}

p_{1} = 10 + 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}

Edddi aktiv_icon

20:25 Uhr, 04.05.2016

Die letzten beiden Resubst. sind vertauscht, aber ich komm mit meinem Pad nicht hin, irgendwie will der Editor nicht.

Als letzter Schritt die letzte Resubst.:

r_{1} = \frac{b}{2 \cdot \sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}}}

r_{1} = \frac{b}{2 \cdot \sqrt{10 - 2 \cdot \sqrt{30 \cdot \frac{s}{b} - 5}}}

Dann noch die Probe machen.

Hab's getestet mit

b = \frac{10}{3} \cdot π

und

s = 10

(inennliegendes regal mäßiges 6-Eck) und das zu erwartende Ergebnis

r = 10

kam bis auf ein paar Stellen genau raus.

:-)

Knubbel aktiv_icon

23:21 Uhr, 05.05.2016

Hallo Eddi,

danke für deine ausführliche Antwort. So etwas, Ableitung und End(Näherungs)formel habe ich als Antwort zu meiner Frage gewünscht.

Ich hatte schon eine Näherungsformel, von der ich allerdings nicht mehr die Quelle weiß.

b s

Bisherige Formel AbweichungAbleitung 2 AbweichungExakt

12000; 11000; r = 8411,51; 99,59 %; 8375,71

100,02 %; 8377,09

100; 80; r = 44,63; 99,04 %;

44,16

100,10 %;

44,20

1200; 1000; r = 589,10; 99,71 %;

583,95

100,59 %;

587,37

650; 600; r = 474,56; 99,62 %;

472,70

100,01 %;

472,76

150; 100; r = 50,91; 98,48 %;

49,96

100,37 %;

50,14

2500; 2000; r = 1115,74; 99,05 %;

1103,91 100,11 %; 1105,11

2500; 1950; r = 1061,11; 98,96 %;

1048,62 100,14 %; 1050,05

Wie du aus vorstehender Tabell mit extremen Parametern ersehen kannst, sind die Ergebnisse nach deinem Lösungsansatz (Ableitung

2)

akzeptabel genau, weitaus genauer als nach der mir bisher bekannten Formel.

Es gibt halt doch noch Mathematiker! Danke!

mfg Knubbel

Knubbel aktiv_icon

23:48 Uhr, 31.05.2016

Hallo Eddi,

wenn ich mich auch spät melde, möchte ich doch noch meine bisherige Näherungsformel bekannt machen. Wie bereits erwähnt, weiß ich nicht mehr woher ich die Ableitung hatte. Bisher hatte ich mich hiermit zufrieden gegeben. Da ich hier mit dem Formeleditor nicht klar komme habe ich die Formel im Excel-Modus dargestellt. Ich hoffe, es ist ausreichend.

r= sqr((b^2*(b+sqr(1,2*s*b-0,2*b^2))/(48*(b-s)))

Mit deiner Ableitung ist das Ergebnis wesentlicher genauer.
Danke, dass du dich diesem Problem gestellt und eine Lösung gefunden hast.

Ich habe in meinem Berufsleben viel mit Gewölben zu tun gehabt (z.B. mit 12000 mm Spannweite). Daher war mir die Kernfrage durchaus wichtig. Alle damit zusammenhängende Fragen mussten gelöst werden und in spezielle Berechnungsprogramme integriert werden.

Ich bin zwar kein Mathematiker, habe aber deiene Ableitung halbwegs verstanden. Für die ausführliche Darstellung bedanke ich mich sehr.

Hi Eddi, ich danke dir, dass du zum Abschluß meines Beruflebens noch eine solch grandiose Lösung gefunden hast.

mfg Knubbel

1310149

1305085

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?