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Kurvenintegral einer Parabel bestimmen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Gradientenfeld, Integration, Kurvenintegral

Postbote2000 aktiv_icon

13:56 Uhr, 15.08.2017

Guten Tag,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Gegeben ist ein Vektorfeld

F = (x - y) {\vec{e}}_{x} + \frac{1}{2 - x} {\vec{e}}_{y}

Wir betrachten zwei Wege

C_{1}

und

C_{2}

C_{1}

ist eine gerade die vom Punkt

(0,1,0)

zum Punkt

(1,0,0)

führt,

C_{2}

ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Punkt

(0,1,0)

liegt, die auch durch den Punkt

(1,0,0)

geht.
Ich habe schon durch

\nabla \times \vec{F} = 0

bewiesen, dass es sich um ein Gradientenfeld handelt, weshalb für das Integral der Weg ja irrelevant ist und es nur auf Start und Endpunkt ankommt.
Da beide Integrale denselben Start und Endpunkt haben, müssten sie also folglich auch gleich groß sein. Das Integral

C_{1}

habe ich schon gelöst, ich bin relativ sicher, dass es richtig ist. Dort bekomme ich als Lösung

C_{1} = 1 - ln (2),

für

r_{1} (t) = (\begin{matrix} t \\ - t \end{matrix})

.
Für

C_{2}

habe ich die Parabelfunktion

y = - x^{2} + 1

gewählt, folglich also

r_{2} (t) = (\begin{matrix} t \\ - t^{2} + 1 \end{matrix}),

da kommt nur etwas ganz anderes raus.

Was mache ich falsch?

Danke für Eure Hilfe,

lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung