Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Länge und Breite für maximale Fläche herausfinden

Länge und Breite für maximale Fläche herausfinden

Schüler

Tags: Fläche, Funktion, Gleichungen, Umfang

L-M-97 aktiv_icon

20:59 Uhr, 21.01.2015

Hallo zusammen :-)
Auf morgen muss ich ein paar Aufgaben lösen, das meiste habe ich verstanden aber bei einer habe ich keine Ahnung wie ich das Problem überhaupt angehen soll;
Ein Bauer will für seine Kühe und in Gehege bauen, er hat

160 m

Zaun zur Verfügung. Am Anfang will er ein Gehege mit einer Länge von

50 m

und einer Breite von

30 m

bauen, aber dann will er den Flächeninhalt maximieren, indem er die Breite um

x

Meter verlängert. Mir ist klar, dass die Lösung

40 m

auf

40 m

ist, aber ich kann nicht zeigen wie. Ich habe probiert ein paar Gleichungen aufzustellen;

30 + x = B

50 - x = L

B \cdot L = A

2 B \cdot 2 L = 160

Dann habe ich sie so zusammengefasst und probiert etwas zu eliminieren:

(30 + x) \cdot (50 - x) = A

2 (30 + x) \cdot 2 (50 - x) = 160

Dann habeich die obere Gleichung

\cdot (- 2)

gerechnet, aber dann bleibt nur A und

160

übrig, was ja nicht stimmen kann.

Ausserdem bin ich ein wenig verwirrt, weil unser eigentliches Thema Funktionen sind. Kann oder soll man die Aufgabe mit einer Funktion lösen? So etwas haben wir noch nicht behandelt
Ich hoffe dass mir hier jemand helfen kann, vielen Dank im Vorraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms
Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Sams83 aktiv_icon

21:13 Uhr, 21.01.2015

Hallo,

für den Umfang musst Du beide Seiten addieren, es gilt also

2 B + 2 L = 160

Indem Du

L

aber um dieselbe Länge

x

verkürzt wie Du

B

erhöhst, behältst Du den Umfang bei. (Die Gleichung für den Umfang brauchst Du also nicht. Wenn Du sie dennoch aufschreibst, steht da:

2 (30 + x) + 2 (50 - x) = 60 + 2 x + 100 - 2 x = 160

(stimmt also))

Nun zu Deiner eigentlichen Gleichung:

A = (30 + x) \cdot (50 - x)

Diese kannst Du noch ausmultiplizieren, dann siehst Du direkt, dass es eine quadratische Parabel ist, welche nach unten geöffnet ist. Der Scheitelpunkt dieser Parabel gibt also den maximalen Wert der Funktion A an (also genau das was Du suchst.

Ok?

L-M-97 aktiv_icon

22:05 Uhr, 21.01.2015

Vielen Dank für die Antwort erstmal, es hat mir ein wenig weitergeholfen, aber mein Lehrer hat nun endlich eine E-Mail beantwortet die ich ihm diesbezüglich gesendet hatte und anscheinend müssen wir es mit einer Gleichung machen (ohne Graphen und so).
Ich hab mal die Formel ausmultipliziert, die du mir korrigiert hast und das gibt ja dann

A = 1500 + 20 x

jetzt bräuchte ich eigentlich nur noch eine Formel für

x,

da es ja zwei unbekannte sind, aber mir fällt da irgendwie nichts ein?
Tut mir wirklich Leid falls das eine dumme Frage ist

Werner-Salomon aktiv_icon

22:24 Uhr, 21.01.2015

Hallo L-M-97,

das was Du da vor Dir hast ist eine Optimierungsaufgabe. Aufgaben dieser Art werden im Allgemeine gelöst, indem man eine Funktion aufstellt, diese ableitet und die Ableitung zu 0 setzt - und damit ein Extremum bestimmt.

Du schreibst, dass Du die Formel aus multipliziert hast - aber bei Deinem Ergebnis fehlt etwas. Korrekt wäre:

A = (30 + x) \cdot (50 - x) = 1500 + 20 x - x^{2}

das ist die 'Formel für

x

' - nochmal:

A (x) = 1500 + 20 x - x^{2}

Ableiten nach

x

ergibt:

A ʹ (x) = 20 - 2 x

setzt man diese zu 0, so erhält man:

A ʹ (x_{o p t}) = 0 = 20 - 2 x_{o p t}

mit

x_{o p t} = 10

also wie Du schon richtig angenommen hast:

B = 30 + 10 = 40

und

L = 50 - 10 = 40

Gruß
Werner

L-M-97 aktiv_icon

22:39 Uhr, 21.01.2015

Oh, vielen Dank! Ich glaube ich habe da was falsch verstanden in dem Mail (mein Mathelehrer unterrichtet nicht auf Deutsch...). Ich denke ich weiss jetzt wie es geht (eure Antworten waren sehr hilfreich!) aber ich kann definitiv sagen dass wir so etwas noch nicht durchgenommen haben :-)

Ma-Ma aktiv_icon

22:51 Uhr, 21.01.2015

@Werner : Was soll diese Komplettlösung ? Wer bereits differenzieren kann, kommt auch ohne Deine Komplettlösung zum Ziel.
Vielleicht hilfst Du demnächst ja den Fragestellern, einen Weg zu erkennen und eigene Gedanken einzubringen

. .

. ist viel besser alles immer alles vorzutanzen

. .

. und hier wieder mal daneben.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Die erste Frage muss lauten: Welche Klasse ist der FRagesteller.
Diesbezüglich hat Sams83 den perfekten Ansatz gegeben !

Ausmultiplizieren und Scheitelpunkt der Parabel berechnen.
Denke an die Scheitelpunktform einer Parabel !

1212645

1212603

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?