Limes

Universität / Fachhochschule

23:04 Uhr, 12.11.2026

Hallo,

bestimme den Limes von

{(c_{n})}_{n \in ℕ_{\geq 0}}

mit

c_{n} := \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}

für alle

n \in ℕ_{\geq 0}

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

01:18 Uhr, 13.11.2026

Ich beginne recht phantasielos:

Gelte

c_{n} \to a (n \to \infty)

für ein

a \in ℝ

.
Dann gibt es für jedes

0 < ε \in ℝ

ein

N \in ℕ,

sodass

- ε < \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} - a < ε

für alle

n \geq N

.

Wir formen um:

- ε < \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n} - a < ε

\Leftrightarrow \sqrt{n} + a - ε < \sqrt{n + \sqrt{n}} < \sqrt{n} + a + ε

(für

n

groß genug darf man quadrieren)

\Leftrightarrow n + 2 \sqrt{n} (a - ε) + {(a - ε)}^{2} < n + \sqrt{n} < n + 2 \sqrt{n} (a + ε) + {(a + ε)}^{2}

\Leftrightarrow 2 \sqrt{n} (a - ε) + {(a - ε)}^{2} < \sqrt{n} < 2 \sqrt{n} (a + ε) + {(a + ε)}^{2}

\Leftrightarrow - 2 \sqrt{n} ε + {(a - ε)}^{2} < \sqrt{n} (1 - 2 a) < 2 \sqrt{n} ε + {(a + ε)}^{2} (I)

.

Angenommen,

1 - 2 a > 0

. Dann gibt es für

ε := \frac{1 - 2 a}{4}

ein

N_{1} \in ℕ,

sodass die rechte Ungleichung von

(I)

\sqrt{n} (1 - 2 a) < 2 \sqrt{n} ε + {(a + ε)}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{n} \frac{1 - 2 a}{2} < {(a + ε)}^{2}

für alle

n \geq N_{1}

falsch ist.

Und falls

1 - 2 a < 0,

so gibt es für

ε := \frac{| 1 - 2 a |}{4}

ein

N_{2} \in ℕ,

sodass die linke Ungleichung von

(I)

- 2 \sqrt{n} ε + {(a - ε)}^{2} < \sqrt{n} (1 - 2 a) \Leftrightarrow {(a - ε)}^{2} < \sqrt{n} \frac{1 - 2 a}{2}

für alle

n \geq N_{2}

falsch ist.

Also muss

1 - 2 a = 0

und somit

a = \frac{1}{2}

gelten.

Dies ist tatsächlich der gesuchte Limes,
was hier aber nicht bewiesen wird.

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