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Limes berechnen sowie Ausklammeraufgabe

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Ausklammern, lim

Mario1993 aktiv_icon

13:28 Uhr, 10.03.2014

Hallo, ich sitze gerade über einem Unieinstiegstest.

Bestimmen Sie, wenn möglich, die Grenzwerte folgender Funktion:

\frac{2 \cdot x^{3} + x}{- 3 x^{3} + 5 x^{+} 25}

Ich weiß, dass auf jeden Fall 0 rauskommt, da Nennergrad

>

Zählergrad ist, aber wie geht noch einmal der Rechenweg? Denke an eine Polynomdivison.

Und wie rechnet man noch einmal, wenn der Nennergrad

<

Zählergrad ist? Dann wird doch in jedem Fall eine Polynomdivison durchgeführt oder Ausklammern (im Nenner mit der höchster Hochzahl) und dann kürzen? Finde leider im Internet keine gute Seite, wo alle Fälle genau mit einem Beispiel erläutert werden. Vllt könnt Ihr mir ja kurz die Lösung sagen oder auf eine Seite verweisen.

Und eine weitere Aufgabe:
Die beiden reellen Zahlen

x, y

sowie ihre Summe

x + y

seien von Null verschieden. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich

\frac{\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

Ich saß vor der Aufgabe grübelnd. als ich mir die Lösung angeguckt habe war alles kalr aber mir sit da kein mathematischer oberbegriff eingefallen, den ich zb googlen und lernen könnte. wie nennt man das denn? würde mal auf vereinfachen tippen :-D) kennt da noch jmd eine gute seite, wo ich ähnliche aufgaben üben könnte? den lösungsweg habe ich nämlich verstanden aber hatte wirklich überhaupt keinen ansatz.

grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Nullstellen bestimmen
Rechnen mit Klammern

Bummerang

13:34 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

Funktion und Text ("Ich weiß, dass auf jeden Fall 0 rauskommt, da Nennergrad

>

Zählergrad ist") passen nicht zusammen! Bitte korrigiere Deine Aufgabenstellung oder überlege Dir, wo Dein Denkfehler liegt!

PS: Grenzwerte haben immer einen Wert, gegen den das

x

konvergiert! Ohne die Angabe, wogegen

x

konvergieren soll, kann man Dir keine sinnvolle Antwort auf Deine Fragen geben!

Mario1993 aktiv_icon

13:37 Uhr, 10.03.2014

ahh sorry das hattd ich vergessen!

limes läuft gegen plus unendlich

Mario1993 aktiv_icon

14:33 Uhr, 10.03.2014

wenn ich die limes rechnung ausklammer und zsm fasse komme ich auf:

\frac{3}{- 3 x + 5 + \frac{25}{x^{2}}}

kann man das jetzt schon als "0" abtun oder wie geht es weiter? polynomdivision würde das ganze nicht vereinfachen.

man könnte ja auch testeinsetzungen machen um die vermutung 0 zu begründen

Respon

14:37 Uhr, 10.03.2014

Falls die Angabe so stimmt

. .

\frac{2 \cdot x^{3} + x}{- 3 \cdot x^{3} + 5 \cdot x + 25} = \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{- 3 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}}

Respon

14:41 Uhr, 10.03.2014

. .

. and the limes goes to

... . .

Bummerang

14:52 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

"Falls die Angabe so stimmt ..."

Wie bereits in meinem ersten Thread geschrieben: Bitte Aufgabenstellung korrigieren oder Denkfehler finden!

Mario1993 aktiv_icon

15:26 Uhr, 10.03.2014

das gleiche habe ich auch raus! ist dann ende oder?

das war die exakte aufgabenstellung.
oder meinst du das wort "FALLS MÖGLICH" sprich es ist nicht möglich einen limes ausrechnen aufgrund des nennergrades

häätte noch jmd einen tipp für die 2. aufgabe?

Respon

15:51 Uhr, 10.03.2014

lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{3} + x}{- 3 \cdot x^{3} + 5 \cdot x + 25} = lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{- 3 + \frac{5}{x^{2}} + \frac{25}{x^{3}}} = - \frac{2}{3}

\frac{\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = 0

Mario1993 aktiv_icon

09:25 Uhr, 11.03.2014

ach verdammt die funktion heißt

\frac{2 \cdot x^{3} + x}{- 3 x^{3} + 5 x^{2} + 25}

komme mit dem eingabesystem noch nicht perfekt klar.

unter welchen stichpunkt fällt denn die zweite aufgabe? wo gibt es ähnliche aufgaben?

Respon

09:39 Uhr, 11.03.2014

Das ändert nicht viel. Dividiert man Zähler und Nenner durch

x^{3},

so bleibt der Limes

- \frac{2}{3}

Respon

09:44 Uhr, 11.03.2014

Diese Angabe ist natürlich etwas sonderbar ( bitte überprüfen ).

\frac{\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}

Im Zähler steht die Differenz zweier gleicher Terme. Da

x, y

als

> 0

vorausgesetzt wurden, ist der Wert des Zählers auch 0.

Zu überprüfen ist dann nur mehr, ob der Nenner

(\frac{1}{x} - \frac{1}{y})

\neq 0

ist. Wäre er auch

0,

dann hätten wir eine "unbestimmte Form".

Oder die Angabe schaut doch anders aus

. .

Mario1993 aktiv_icon

11:19 Uhr, 12.03.2014

ach verflixt.... die funktion heißt

\frac{2 \cdot x^{2} + x}{- 3 x^{3} + 5 x^{2} + 25}

x

geht gegen

+

unendlich

das ist mir ja jetzt ein wenig peinlich :-D)

und noch eine andere frage: bei der funktion

\frac{2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}

mit limes

x

geht gegen 1 steht in der lösung "kein grenzwert exitent, wohl aber der uneigentliche grenzwert unendlich". wenn mans in den taschenrechner eintipptkomme ich

a)

auf minus unendlioch und

b)

wieso ist hier der limes nicht 0? dbei der fkt ist der nennergrad ja auch höher. liegt das daran, dass wenn man "1" einsetzt der nenner 0 ergeben würde und durch 0 darf man ja wiederum nicht teilen. oder wieso?

zur anderen aufgabe:

beim lösungsweg

x y

aufgabe wird der bruch mit ((xy)/xy)) mutipliziert , gekürzt und am ende blebit nur noch

x - y

über. der rechenweg ist ja auch logisch (könnte man das multiplizieren eine erweiterung des bruches nennen) aber ich habe da slebst keinen ansatz wie ich es ohne hilfe auf den ersten cshritt schaffen könnte.

daher würde ich da gerne noch ein paar mathe gesetze durch gehen ode rähnliche aufgaben ber mir fällt kein stichwort ein unter dem ich das mal nachschlagen könnte

Respon

11:48 Uhr, 12.03.2014

\frac{2 \cdot x^{2} + x}{- 3 \cdot x^{3} + 5 \cdot x^{2} + 25}

Zähler und Nenner durch

x^{2}

dividieren ( "erlaubt", da ja

x \to \infty)

\frac{2 \cdot x^{2} + x}{- 3 \cdot x^{3} + 5 \cdot x^{2} + 25} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{- 3 \cdot x + 5 + \frac{25}{x^{2}}}

lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{- 3 \cdot x + 5 + \frac{25}{x^{2}}} = 0

Respon

12:01 Uhr, 12.03.2014

lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot x - 2}{{(x - 1)}^{2}} =

???

\frac{2 \cdot x - 2}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2 \cdot (x - 1)}{(x - 1) \cdot (x - 1)} = \frac{2}{x - 1}

Nähern wir uns

x = 1

von LINKS, also

x < 1,

so ist der Nenner

< 0,

der gesamte Bruch ebenfalls

< 0,

der

lim

ist also

- \infty

.

Nähern wir und

x = 1

von RECHTS, also

x > 1,

so ist der Nenner>0, der gesamte Bruch ebenfalls

> 0,

der

lim

ist also

+ \infty

.

Linksseitiger und rechtsseitiger

lim

sind verschieden.

siehe Graph

Mario1993 aktiv_icon

12:24 Uhr, 12.03.2014

ach na klar bei ener zahl muss man sich ja links und recht annähern. das ist alles schon 4 jahre her bei mir :-D) zum glück gibt es dieses forum....

hättest du noch einen tipp für die zweite aufgabe?

und die letzte aufgabe an der ich verzweifel:

BERECHNE DIE SUMME:

\frac{3 x}{2 x - 4 y} + \frac{4 x - 2 y}{x + y} - \frac{3 x + 4 y}{2 x + 2 y}

also mir ist klar, dass man erst einmal alle brüche auf einen hauptnenner bringen muss. wäre am schlausten - meinre meinung nach - da

2 x + 2 y

zu nehmen,da lässt sich der zwiete bruch easy mit 2 erweitern zu

\frac{8 x - 4 y}{2 x + 2 y}

problem ist jedoch nun der erste bruch

\frac{3 x}{2 x - 4 y}

ich müsste den bruch mit

1 - \frac{3 y}{x + y}

erweitern. hätte dann einen doppelbruch. habe mal auf

3 - 4

verschiedene wege weiter gerechnet aber komme nicht auf das richtige ergebnis. kann mir jmd den nächsten ansatz oder schritt verraten oder habe ich bereits am anfang einen fehler?

lösung:

(8 x^{2} -

15xy

+ 16 y^{2} \frac{)}{2 (x - 2 y) (x + y)}

Respon

12:26 Uhr, 12.03.2014

Bezüglich zweiter Aufgabe:
Wie lautet jetzt die Angabe ?

Mario1993 aktiv_icon

13:21 Uhr, 12.03.2014

Und eine weitere Aufgabe:
Die beiden reellen Zahlen

x, y

sowie ihre Summe

x + y

seien von Null verschieden. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich

mehr steht nicht da

bei der abdereb

x y

bruch aufgabe steht sonst auch nichts außer "BERECHNE DIE SUMME"

Respon

13:22 Uhr, 12.03.2014

Schreibe nochmals die Angabe hin !

Mario1993 aktiv_icon

13:56 Uhr, 12.03.2014

a)

Die beiden reellen Zahlen

x, y

sowie ihre Summe

x + y

seien von Null verschieden. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich:

\frac{\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

[

ERGEBNIS:

x - y]

b)

Berechne die Summe:

\frac{3 x}{2 x - 4 y} + \frac{4 x - 2 y}{x + y} - \frac{3 x + 4 y}{2 x + 2 y}

[

ERGEBNIS:

(8 x^{2} -

15xy

+ 16 y^{2} \frac{)}{2 (x - 2 y) (x + y)}

Respon

13:59 Uhr, 12.03.2014

Also bei

a)

kann irgendetwas nicht stimmen, denn

\frac{x}{y} - \frac{x}{y} = 0

Mario1993 aktiv_icon

14:11 Uhr, 12.03.2014

ich werde noch verrückt mit diesem schreib system :-D) hier die richtige version

\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

Respon

14:14 Uhr, 12.03.2014

Ersuche um autentische Bestätigung. Es heißt also

\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

Mario1993 aktiv_icon

14:31 Uhr, 12.03.2014

genau richtig

Respon

14:36 Uhr, 12.03.2014

Dann machen wir es kurz und schmerzlos:

\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x \cdot y}}{\frac{x + y}{x \cdot y}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x + y} = \frac{(x + y) \cdot (x - y)}{x + y} = x - y

Wegen

x \neq 0, y \neq 0, x + y \neq 0

sind alle Rechenschritte definiert.

Mario1993 aktiv_icon

15:10 Uhr, 12.03.2014

genau so wars auch in der lösung. jeder schritt ist wie gesagt einleuchtend aber ich käme da niemals drauf zb die gleichung mit

\frac{x \cdot y}{x \cdot y}

zu multiplizieren. wieso darf man das und wo finde ich noch mehr solcher aufgaben und erklärungen :-D) würde mich mit der thematik gerne mehr beschaffen.

schaffst du vllt auch die bruch aufgabe? ansatz hatte ich oben stehen

danke schon einmal

Respon

15:13 Uhr, 12.03.2014

Das ist eher Stoff der Unterstufe. In den jeweiligen Mathematikbüchern schmökern.

Mario1993 aktiv_icon

15:14 Uhr, 12.03.2014

ich weiß mit was ich erweitern muss aber komm leider auf einen doppelbruch, den ich nicht lösen kann

Mario1993 aktiv_icon

15:17 Uhr, 12.03.2014

b)

"also mir ist klar, dass man erst einmal alle brüche auf einen hauptnenner bringen muss. wäre am schlausten - meinre meinung nach - da

2 x + 2 y

zu nehmen,da lässt sich der zwiete bruch easy mit 2 erweitern zu

\frac{8 x - 4 y}{2 x + 2 y}

problem ist jedoch nun der erste bruch

\frac{3 x}{2 x - 4 y}

ich müsste den bruch mit

1 - \frac{3 y}{x + y}

erweitern. hätte dann einen doppelbruch. habe mal auf

3 - 4

verschiedene wege weiter gerechnet aber komme nicht auf das richtige ergebnis. kann mir jmd den nächsten ansatz oder schritt verraten oder habe ich bereits am anfang einen fehler?

lösung:

(8 x^{2} -

15xy

+ 16 y^{2} \frac{)}{2 (x - 2 y)}

(x+y)"

Respon

15:26 Uhr, 12.03.2014

\frac{3 \cdot x}{2 \cdot x - 4 \cdot y} + \frac{4 \cdot x - 2 \cdot y}{x + y} - \frac{3 \cdot x + 4 \cdot y}{2 \cdot x + 2 \cdot y}

Hätten wir Brüche mit Zahlen und müssten den gemeinsamen Nenner bestimmen, so geschieht das meistens durch die Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mittels Primfaktorenzerlegung.

Bei Termen geht man analog vor

2 \cdot x - 4 \cdot y = 2 \cdot (x - 2 \cdot y)

x + y = x + y

2 \cdot x + 2 \cdot y = 2 \cdot (x + y)

=>der gemeinsame Nenner ist

2 \cdot (x - 2 \cdot y) \cdot (x + y)

Mario1993 aktiv_icon

15:34 Uhr, 12.03.2014

ah ok das sit einleuchtend. dann müsste ich auch jeden bruch damit natürlich erweitern.

nur wo ist die

\cdot 2

aus dem dritten Term hin? also steht beim hauptnenner nur die 2 anstatt der 4 vorne, weil die 2 "mal" im ersten und letzten term vorkommen?

Respon

15:36 Uhr, 12.03.2014

Die 2 vom dritten Term steckt im ersten Term

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