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Lineare Abbildung: Injektiv/surjektiv; Bild/Kern

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Bild, Injektivität, Kern, Lineare Abbildungen, surjektivität

SilverShadow aktiv_icon

11:18 Uhr, 19.06.2012

Hallo!
Hätte eine Frage zu einer Aufgabe:

Also ich habe die Matrix erstmal in Zeilenstufenform umgeformt, dann erhält man

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 3 & - 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

.

Laut VL gilt für eine Abbildung

ϕ : R^{n} \to R^{m}

mit LGS Ax=b

b \in R^{n}

a)

Surjekvitität, wenn der Zeilenrang gleich

m

ist

b)

Injektivität, wenn der Spaltenrang gleich

n

ist.

a) m = 3,

Zeilenrang=2

\Rightarrow

Keine Surjektivität

b) n = 4,

Spaltenrang=4

\Rightarrow

Die Abbildung

ϕ

ist injektiv.

Bei der

b)

ist jetzt nach den Basen vom Kern und des Bilds gefragt.

Wir wissen ja durch die Injektivität jetzt, dass Ker

ϕ = {0}

. Wie soll es da jetzt dann eine Basis geben?

Über das Bild wissen wir, dass Im

ϕ

nicht auf alle Elemente in

R^{4}

abbildet.
Ich bilde ja ab von

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix})

mit den Bedingungen

1) x_{1} - x_{2} + x_{3} + x_{4}

(=0?)

2) - 3 x_{2} - 2 x_{3} + x_{4}

(=0?)

Falls ich hier

= 0

setzen kann, könnte ich nach Variablen auflösen, um einen der 3 Vektoren umzuformulieren - aber wie komme ich hier auf meine Basis?

Vielen Dank! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

hagman aktiv_icon

11:39 Uhr, 19.06.2012

Es gilt stets Zeilenrang = Spaltenrang!
Hier ist

Φ

also weder injektiv noch surjektiv.

SilverShadow aktiv_icon

11:48 Uhr, 19.06.2012

Moment, also wenn ich meine Matrix so weit wie möglich auf Zeilenstufenform vereinfacht habe, dann habe ich hier ja 4 Spalten und 2 Zeilen. Richtig, oder?

Und der Rang wäre hier 2?

hagman aktiv_icon

14:24 Uhr, 23.06.2012

Der Rang sowohl deiner ursprünglichen als auch der auf Zeilenstufenform gebrachten Matrix ist in der Tat 2.

SilverShadow aktiv_icon

14:29 Uhr, 23.06.2012

Warum unterscheidet man dann in der Def. meiner VL überhaupt zwischen Zeilen- und Spaltenrang, wenn hier eh Spaltenrang=Zeilenrang gilt?

Und wie könnte ich jetzt anfangen den Kern (bzw. die Basis des Kerns) und das Bild zu bestimmen?

hagman aktiv_icon

15:13 Uhr, 23.06.2012

Weil die Aussage, dass Zeilenrang=Spaltenrang gilt nicht trivial zu zeigen ist.
Warum spricht man von Abendstern und Morgenstern, wenn beides einfach die Venus ist?

Eine Basis des Kerns kannst du an der Zeilenstufenform ablesen:
Die dritte Zeile kannst du ignorieren.

x_{3}

und

x_{4}

darf man beliebig wählen, danach ist

x_{2}

aus der zweiten Zeile festgelegt. Und danach ist

x_{1}

aus der ersten Zeile festgelegt.
Erster Versuch: Setze

x_{4} = 1, x_{3} = 0

. Dann

x_{2} = \frac{1}{3}

wegen Zeile

2,

dann

x_{1} = - \frac{2}{3}

wegen Zeile 1. Also haben wir

(\begin{matrix} - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

im Kern
Zweiter Versuch: Setze

x_{4} = 0, x_{3} = 1

. Dann

x_{2} = - \frac{2}{3}

wegen Zeile

2,

dann

x_{1} = - \frac{5}{3}

wegen Zeile 1. Also haben wir

(\begin{matrix} - \frac{5}{3} \\ - \frac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

im Kern.
Beide zusammen bilden eine Basis des Kerns.

Eine Basis des Bildes kann man natürlich nur an der originalen Matrix ablesen (maximales linear unabhängiges System aus den Spaltenvektoren auswählen), nicht an er Zeilenstufenformumformung.

SilverShadow aktiv_icon

16:08 Uhr, 23.06.2012

Stimmt :-D)

Ok, also die Bildung des Kerns ist dann soweit logisch.

Was meinst du mit "maximales linear unabhängiges System aus den Spaltenvektoren auswählen"?
Die Spaltenvektoren sind ja

(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 5 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix})

.

Und davon wähle ich jetzt 2 lin. unabhängige aus?

hagman aktiv_icon

16:10 Uhr, 23.06.2012

So so, sind das also die Spaltenvektoren der ursprünglichen Matrix?
Wenn ja, reicht es, hiervon zwei lin. unabhängige auszuwählen.
Freundlicherweise sind je zwei davon bereits linear unabhängig.

SilverShadow aktiv_icon

16:26 Uhr, 23.06.2012

Argh, hab ja die ganze Zeit vergessen die Angabe zu posten:

SilverShadow aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.06.2012

Vielen Dank dann mal wieder! :-)

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