Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lipschitz-Stetigkeit beweisen

Lipschitz-Stetigkeit beweisen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Mittelwertsatz, Stetigkeit

Aeoo94 aktiv_icon

20:12 Uhr, 31.05.2018

Hallo zusammen,

ich komme leider nicht wirklich klar, wie man vernünftig abschätzt.

Es geht um die Aufgabe: ) Zeigen Sie unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, dass die Funktion

f : R

→

R, x

→

\frac{1}{2 + x^{2}}

Lipschitz-stetig ist.

Mein Ansatz bzw. wie weit ich gekommen bin:
Sei

x, y

€

R

und

y > x

Es gilt wegen MWS:

f' (ξ) = \frac{f (y) - f (x)}{y - x} \Leftrightarrow (f (y) - f (x)) = f' (ξ) (y - x)

Wegen Lipschitz-Stetigkeit Definition muss es also ein supr

(f' (ξ))

existieren.

Also bilde ich zunächst die Ableitung von

f (x) = \frac{1}{2 + x^{2}}

f' (x) = - \frac{2 x}{{(2 + x^{2})}^{2}}

Jetzt müsste ich ein Supremum von

- \frac{2 x}{{(2 + x^{2})}^{2}}

finden, aber ich hab leider hier keine Ahnung wie man hier richtig vorgeht mit dem abschätzen, dieser Supremum wäre dann die Lipschitz-Konstante (gehe ich soweit überhaupt richtig vor?)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

20:19 Uhr, 31.05.2018

Du musst schon Sup vom Betrag nehmen, ansonsten ist das OK.
Du brachst also ein

C

mit

\frac{∣ 2 x ∣}{(2 + x^{2})^{2}} \leq C

für alle

x

.
Und wenn Du nicht unbedingt das optimale

C

suchst, dann kann man das recht einfach abschätzen, unter Ausnutzung der Tatsache, dass

∣ 2 x ∣ \leq 1 + x^{2}

für alle

x

.
Denn dann gilt

\frac{∣ 2 x ∣}{(2 + x^{2})^{2}} \leq \frac{1 + x^{2}}{(2 + x^{2})^{2}} < \frac{2 + x^{2}}{(2 + x^{2})^{2}} = \frac{1}{2 + x^{2}} \leq 0.5

Aeoo94 aktiv_icon

20:36 Uhr, 31.05.2018

Ah vielen dank, aber setzt Supremum nicht schon voraus das man den "optimalsten"sprich 'kleinste obere Schranke' nehmen soll? (Hab die Definition wohl etwas durcheinandergebracht von Supremum...)

Ansonsten sieht deine Lösungsvorschlag super aus, hab wohl wegen Betrag übersehen müsste also so sein Sup(|f'(xi)|)

= | - \frac{2 x}{{(2 + x^{2})}^{2}} | = \frac{| (2 x) |}{{(2 + x^{2})}^{2}}

DrBoogie aktiv_icon

20:38 Uhr, 31.05.2018

"Ah vielen dank, aber setzt Supremum nicht schon voraus das man den "optimalsten"sprich 'kleinste obere Schranke' nehmen soll?"

Ja, natürlich. Nur brauchst Du kein Sup für Lipschitz, eine obere Schranke reicht.
Wenn Du Sup willst, wird's schwieriger, dann musst Du den Bruch ableiten, Null setzen und auflösen - wie immer bei der Maximumsuche (da Funktion stetig ist, ist Sup gleich Max).

Aeoo94 aktiv_icon

20:42 Uhr, 31.05.2018

Ah super, dann hab ich soweit verstanden :-). Vielen Dank!

1429077

1429067

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?