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Lipschitz-Stetigkeit zwischen Vektorräumen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

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15:43 Uhr, 27.05.2016

Hallo!

In einer meiner Übungsaufgaben zum Thema Mehrdimensionale Analysis geht es um Lipschitz-Stetigkeit. Eine Abbildung

f : M \to N

ist Lipschitz-stetig, wenn ein

L \in ℝ

existiert, sodass

d_{N} (f (x), f (y)) \leq L \cdot d_{M} (x, y)

für alle

x, y \in M

gilt, wobei

(M, d_{M})

und

(N, d_{N})

metrische Räume sind.

Nun soll ich beweisen, dass alle linearen Abbildungen zwischen (endlichdimensionalen) Vektorräumen

f : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

die Lipschitz-Bedingung erfüllen, wenn

f

stetig ist.

| | \cdot | |

sei die Euklidische Norm, das heißt

d_{ℝ^{n}} (x, y) = \sqrt{x \cdot y},

mit

x, y \in ℝ^{n}

und

x \cdot y

als das Standard-Skalarprodukt.

Da die Stetigkeit von

f

gegeben ist, kann man laut Definition für

a \in ℝ^{n}

schließen, dass zu jedem

ε > 0

ein

δ > 0

existiert, sodass

d (f (x), f (a)) < ε

für alle

x \in ℝ^{n}

mit

d (x, a) < δ

.

Nun zu der eigentlichen Frage: Ich brauche einen Denkanstoß, wie ich diesen Beweis angehen soll, da ich leider bisher keinen Ansatz gefunden habe. Wie beginne ich einen Beweis dafür, dass eine stetige Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen auch Lipschitz-stetig ist?

Vielen Dank im Voraus!
Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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16:13 Uhr, 27.05.2016

Zeige zunächst

{∥ f (x) ∥}_{ℝ^{m}} \leq L ∥ x ∥_{ℝ^{n}}

für ein

L > 0

und alle

x \in ℝ^{n}

indem du die Stetigkeit im Ursprung und die Linearität ausnutzt. Wegen der Linearität von

f

folgt daraus sofort die Lipschitzstetigkeit.
Übrigens meinst du wohl

d_{ℝ^{n}} (x, y) = \sqrt{(x - y) \cdot (x - y)}

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14:28 Uhr, 28.05.2016

Hallo, danke für die Antwort!

Ich möchte also zeigen, dass

{| | f (x) | |}_{ℝ^{m}} \leq L \cdot {| | x | |}_{ℝ^{n}}

.

Ich habe jetzt mal ein bisschen damit rumgerechnet, bin aber leider immer noch zu keinem vernünftigen Ergebnis gekommen.

Die Abbildung ist linear, das heißt, es gilt

f (a x + y) = a f (x) + f (y)

. Außerdem gibt es eine Matrix

A \in R^{m \times n},

sodass

f (x) = A \cdot x

.

Die Abbildung ist im Ursprung stetig, das heißt, es gibt zu jedem

ε > 0

ein

δ > 0,

sodass

{| | f (x) | |}_{ℝ^{m}} < ε

für alle

x \in ℝ^{n}

mit

{| | x | |}_{ℝ^{n}} < δ

.

Leider weiß ich immer noch nicht, wie ich dieses Wissen nutzen soll, um auf die obere Aussage zu kommen …

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15:08 Uhr, 28.05.2016

Benutze die Stetigkeit im Ursprung mit

ε = 1

. Es gibt also ein

δ > 0

, sodass

∥ f (x) ∥ \leq 1

für alle

x \in ℝ^{n}

mit

∥ x ∥ \leq δ

.
Ist nun

x \in ℝ^{n} \ {0}

beliebig, so kannst du

\hat{x} := \frac{δ}{∥ x ∥} x

setzen und wegen

∥ \hat{x} ∥ = δ

folgt

∥ f (\hat{x}) ∥ \leq 1

. Setze nun

\frac{δ}{∥ x ∥} x

für

\hat{x}

ein und forme um.

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15:41 Uhr, 28.05.2016

Mir wird bei

x := \frac{δ}{| | x | |} \cdot x

beim ersten

x

ein kleines "+" über dem Buchstaben angezeigt. Ist das richtig oder ein Anzeigefehler?

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15:43 Uhr, 28.05.2016

So sieht mein Beitrag eigentlich aus. Es soll also ein

x

mit einem Hut sein, aber man kann es natürlich auch anders nennen...

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17:09 Uhr, 28.05.2016

Ich habe also meine im Ursprung stetige Abbildung und setze

ε = 0

. Nun existiert ein

δ > 0,

sodass

| | f (x) | | \leq ε = 1

für alle

| | x | | \leq δ

. Ich setze

x_{a} = \frac{δ}{| | x | |} \cdot x

. Weil

| | x_{a} | | = δ

folgt

| | f (x_{a}) | | \leq 1

.

Eingesetzt:

f (x_{a}) = f (\frac{δ}{| | x | |} \cdot x) -

kann ich sowohl das

δ,

als auch das

| | x | |

aus der Klammer ziehen?

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17:24 Uhr, 28.05.2016

Ja, denn

f

ist linear.

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17:29 Uhr, 28.05.2016

Dann kann ich den Beweis also so weiterführen:

| | f (x_{a}) | | = | | f (\frac{δ}{| | x | |} \cdot x) | | = \frac{δ}{| | x | |} \cdot | | f (x) | | \leq 1

\Rightarrow | | f (x) | | \leq \frac{| | x | |}{δ} = \frac{1}{δ} \cdot | | x | |

δ > 0

ist auch

\frac{1}{δ} > 0,

ich habe also ein

L > 0

gefunden, das die Lipschitz-Bedingung erfüllt. Ist der Beweis so vollständig?

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17:32 Uhr, 28.05.2016

Genau so geht es. Nur dass die Ungleichung auch für

x = 0

gilt, ist noch nachzuprüfen, aber das ist ja trivial.
Und die Lipschitz-Bedingung aus der nachgewiesenen Ungleichung zu folgern, ist nun auch trivial.

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