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Lipschitz-stetig? gleichmäßig stetig? stetig?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

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21:39 Uhr, 09.01.2021

Ich weiß, dass der Beweis, bis eine Stetigkeit erfüllt ist, in der Reihenfolge erfolgen muss: Lipschitz-stetig? gleichmäßig stetig? stetig?

Leider fällt mir der Beweis für die Lipschitz-Stetigkeit sehr schwer, könnte mir da jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

23:09 Uhr, 09.01.2021

Wenn

\sqrt{x}

Lipshitz-stetig wäre, würde ein

C

existieren mit

∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq C ∣ x - y ∣

. Insbesondere wäre

∣ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ∣ \leq C ∣ \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} ∣

für alle natürliche

n

. Multiplizieren diese Ungleichung mit

n^{2} (n + 1)^{2}

und bekommen

n (n + 1) \leq C (2 n + 1)

bzw.

C \geq \frac{n (n + 1)}{2 n + 1}

. Das geht aber nicht, denn dieser Bruch ist unbeschränkt.

Wenn

\frac{1}{\sqrt{x}}

Lipshitz-stetig wäre, würde ein

C

existieren mit

∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}} ∣ \leq C ∣ x - y ∣

. Insbesondere wäre

∣ n - (n + 1) ∣ \leq C ∣ \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n + 1)^{2}} ∣

für alle natürliche

n

, woraus

1 \leq C \frac{2 n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}

und dann

C \geq \frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{2 n + 1}

folgen würde. Das geht wiederum nicht.

Also sind beide nicht Lipshitz-stetig.

Shroud aktiv_icon

14:51 Uhr, 10.01.2021

Vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort aber ich hab noch eine Frage, unzwar wie kommt man von dem |√x − √y| ≤

C | x

−

y |

auf das

| n

−

n + 1 |

≤

C | \frac{1}{n^{2}}

−

\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} |

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15:26 Uhr, 10.01.2021

In nehme in beiden Fällen

x = 1 / n^{2}

und

y = 1 / (n + 1)^{2}

Shroud aktiv_icon

18:58 Uhr, 10.01.2021

Zur gleichmäßigen Stetigkeit in (ii):

Sei

ε > 0

beliebig und

δ = ε^{2}

mit

x, y

∈ von

] 0, \infty [

mit

| x - y | < δ

Es soll gelten

x = < y, \frac{1}{\sqrt{x}} = < \frac{1}{\sqrt{y}}

| \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}} | = \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}}

Wir wissen

0 < \frac{1}{x} = < \frac{1}{y} < \frac{1}{x} + ε^{2}

\frac{1}{y} < \frac{1}{x} + ε^{2} < \frac{1}{x} + \frac{e}{\sqrt{x}} + ε^{2} = {(\frac{1}{\sqrt{x}} + ε)}^{2}

Wurzel ziehen:

\frac{1}{\sqrt{y}} < \frac{1}{\sqrt{x}} + ε

\frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} < ε

folglich wäre die Funktion gleichmäßig stetig.
Ist das falsch und wenn ja wie würde das richtig aussehen?

DrBoogie aktiv_icon

19:16 Uhr, 10.01.2021

Sorry, ich kann es nicht nachvollziehen.
Aber auf jeden Fall ist

1 / \sqrt{x}

NICHT gleichmäßig stetig auf

(0, \infty)

. Sie ist nicht mal gleichmäßig stetig auf

(0, 1)

.
Das kann man so beweisen: sei

x_{n} = 1 / n^{2}

und

y_{n} = 1 / (4 n^{2})

, dann

x_{n} - y_{n} \to 0

, aber

∣ 1 / \sqrt{x_{n}} - 1 / \sqrt{y_{n}} ∣ = n \to \infty

Shroud aktiv_icon

15:27 Uhr, 11.01.2021

Ok vielen Dank für die Hilfe!!

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