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Logarithmus negativer Zahlen

Schüler

Tags: Komplexe Zahlen, Logarithmus, Mathematik

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17:56 Uhr, 01.05.2019

Meine ursprüngliche Frage war, ob es nicht auch reelle Zahlen als Lösung für Logarithmen von negativen Zahlen bzw. negativer Basen geben kann.
Da kam ich schnell auf Gleichungen wie beispielsweise

- 3^{x} = - 27

. Hier ist ja ohne weitere Rechnung

x = 3

eine ziemlich offensichtliche Lösung.

Deswegen dachte ich auch, dass entsprechend

{log}_{- 3} (- 27) = x

bzw.

\frac{ln (- 27)}{ln (- 3)} = x

eine reelle Lösung haben könnten, nämlich

x = 3

haben könnten.

Da

ln (- 1) = i \cdot π,

ließe sich das ja umformen zu

\frac{ln (27) + π \cdot i}{ln (3) + π \cdot i} = x

In polar Koordinaten ergäbe sich aus diesem Quotienten zweier komplexer Zahlen, nach weiterem Umformen, eine komplexe Zahl
mit dem Betrag

\frac{\sqrt{{(ln 27)}^{2} + π^{2}}}{\sqrt{{(ln 3)}^{2} + π^{2}}}

und dem Winkel

{tan}^{- 1} (\frac{π}{ln 27}) - {tan}^{- 1} (\frac{π}{ln 3})

Damit hat man eine Lösung für den Logarithmus.
In kartesischer Form ungefähr

1,218 - 0,623 i

.

Das ist zwar nicht 3 wie erwartet, aber ich dachte vielleicht ergeben sich im komplexen noch weitere Lösungen für derartigen Gleichungen.
Die resultierende Zahl löst die Gleichung allerdings garnicht:

- 3^{x} = - 27

stimmt nicht wenn man die komplexe Zahl für

x

einsetzt.
Das ergibt nur eine weitere total krumme Zahl:
ungefähr

- 2,9526 + 2,4104 i

Das ergibt für mich ziemlich wenig Sinn. Ist der Logarithmus im Komplexen bzw. bei negativen Werten, keine Lösung mehr für Gleichungen des Typs

a^{x} = b

? Wenn doch, dann würde mich interessieren wo ich mich vertan hab und wenn nicht: warum nicht?; und wie würde man solche Gleichungen denn lösen? Es gibt ja auf jeden Fall eine Lösung nämlich 3.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung