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Logistisches Wachstum
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: logistisch, Wachstum
 
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Abend,
habe mit folgender Aufgabe Schwierigkeiten: Ist viel ja.. weiter unten sind meine Ansätze!
Im Zeitraum 1986 bis 1992 ließ sich die weltweite Zahl der Aids-Fälle (in 1000!) durch eine logistische Wachstumfunktion beschreiben (x=0 entspricht dem Jahr 1989)
Tipp: Schreibe Im TI89 die Dezimalzahlen als Brüche, also z.B. 1,25 = 5/4
a) Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion für x gegen +/- unendlich.
b) Bestimme die Ableitungsfunktion f' "per Hand". c) Wann wuchs die Anzahl der AIDS-Fälle am schnellsten? d) Zeige, dass die Wachstumsrate mit der Zeit streng monoton fällt. e) Wann fiel die Wachstumsrate am schnellsten? f) Wann etwa (in unserem Modell) gab es den ersten an AIDS erkrankten Menschen? g) Die Behandlungskosten eines AIDS-Patienten betragen pro Jahr ca. 5000 € (fiktive Zahl!). Wie groß ist ungefähr der zwischen Anfang 1989 und Anfang 1993 aufgewendete Betrag für alle AIDS-Patienten?
Meine Ansätze sind wie folgt...
Aufgabe a) Da muss ich für x doch einfach ne grooooße Zahl ein setzen? Für x gegen + unendlich strebt die Funktion gegen 500 für x gegen - unendlich strebt die Funktion gegen 0 Aber was hat es da mit dem asymptotischen Verhalten auf sich?
Aufgabe b)...
Quotientenregel: f' = (u' * v - u * v') : v u = 625; u' = 0 v = 1,25 + ; v' = * (-0,8)
a = Das aufteilen und Kettenregel anwenden um auf v' zu kommen Kettenregel: e'(d) * d' a = ; a' = * (-0,8)
e = ; e' = d = -0,8x; d' = -0,8
um b' rauszubekommen muss ich die Kettenregel anwenden:
b' = e'(g) * g' b' = * 0,8
Aufgabe c) Ist das am Wendepunkt? - Also wo f'' = 0 ist?
Aufgabe d) Generell Aufgaben mit "Zeige" in sich verstehe ich nicht.. Kann mir jemand n Ansatz geben oder sagen, was ich hier machen muss?
Aufgabe e) Mein Lehrer sagte im Unterricht, dass das prozentuale Wachs am Anfang am größten ist und mit der Zeit kleiner wird. Daraus würde ich schließen, dass die die Wachstumrate nach dem Wendepunkt am schnellsten fiel. Ist das richtig? Falls ja, wie soll ich das dann mathematisch zeigen?
Aufgabe f) f(x) = 0,001; nach x solven liefert für x = -16,6819 1989 - 17 = 1972 Daraus folgt 1972 "entstand" Patient Zero? - Erste AIDS-Kranke
Aufgabe g) Da f(0) = Jahr 1989 ist, muss ich einfach ausrechnen, wie viele AIDS-Kranke 1992 vorhanden waren und das dann mal 1000 um auf die ganze Summe der Patienten zu kommen und das nochmal mit 5000 multiplizieren um auf die Euros zu kommen oder?
Freue mich auf Eure Antworten.
MfG, Kurosaki |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, deine Ansätze sind schon richtig, du tust dich einfach mit ein paar Ausdrücken ein bisschen schwer. Aufgabe Dadurch, dass du die Asymptoten berechnest, ist das asymptotische Verhalten bereits dargelegt. Der Graph der Funktion nähert sich ja im Unendlichen gegen die Asymptoten. Aufgabe Ja, du kannst es dir auch so herleiten: die 1.Ableitung ist ja der Anstieg der Funktion. Und da, wo die Anstiegsfunktion einen Extremwert erreicht, muss deren Ableitung, also die 2.Ableitung der Ausgangsfunktion, gleich Null sein. Aufgabe Du sollst zeigen, ob und in welchen Intervallen die Funktion monoton steigend oder monoton fallend ist. Dazu brauchst du die erste Ableitung. Grundsätzlich ändert sich das Monotonieverhalten an einem Punkt, für den gilt: . Angenommen, es gäbe zwei Extrempunkte in einer Funktion, dann liegen drei Intervalle vor, deren Monotonieverhalten du darstellen sollst. Aufgabe siehe Aufgabe Du musst dich nur fragen: muss jetzt hier ein Minimum oder ein Maximum des Anstiegs vorliegen. Aufgabe Du müsstest die Anzahl der Patienten von Anfang bis Anfang bestimmen. Diese Werte multiplizierst du mit Euro und nochmals mit . Und dann bildest du die Summe der einzelnen Jahreswerte. Und noch so nebenbei: Euro Behandlungskosten pro Patient sind in der Tat eine fiktive Zahl, die sich als Mittelwert aus Patienten ohne Therapie und jenen mit Therapie ergeben könnte. Ein Patient, der keine Medikamente einnehmen muss, welche das Virus in Schach halten, verursacht bei weitem niedrigere Kosten. Müssen dagegen Medikamente eingenommen werden, liegen allein nur die Kosten für diese Medikamente hier in der Schweiz bei bis Franken im Jahr. |
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Abend.
Aufgabe a) Sowas müsste aber in einer Klausur dann noch als Antwortschatz stehen oder?
Aufgabe c) Also f''(x) = 0; solve mit TI liefert x = -0,2789 In Worten ausgedrückt wäre das schnellste Wachstum der AIDS-Kranken kurz vor dem Jahr 1989? 365 * 0,2789 = 101,799 Also 102 Tage bevor das Jahr 1989 anfängt.
Aufgabe d) Aber f'(x) wird nie gleich 0 sein oder irre ich mich da? Das Einzige, was ich dazu noch sagen kann, ist, dass die Funktion mit der Zeit streng monotol fällt, weil es sich an die Sättigungsgrenze von 500 annähert.
Aufgabe e) Da sich die Nullstelle der 2. Ableitung der Ausgangsfunktion noch vor dem Wendepunkt der Ausgangsfunktion befindet, ist die Steigung wie bereits in Aufgabe c) gesagt dort maximal.
Aufgabe f) Dazu hast Du nichts geschrieben. Ist diese also richtig?
Aufgabe g) Anfang 1989 heißt Ende 1988. Da 1989 das Anfangsjahr ist also x= 0 entspricht, muss man die Werte von f(-1) bis f(3) ausrechnen?
f(-1) = 179, 83 f(0) = 277,78 f(1) = 367,79 f(2) = 430,47 f(3) = 466,17
5000 * 1000 * ( 179, 83 + 277,78 + 367,79 + 430,47 + 466,17) = 8.610.200.000 € Die Zahl dreht sich im Billionenbereich.
Stimmt das alles so? |
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Hallo nochmal, zu Aufgabe Natürlich ist es von Vorteil, wenn man noch einen Antwortsatz schreibt. zu Aufgabe Ja, deine Antwort ist korrekt. zu Aufgabe Das ist falsch. Die Funktion ist über ihren gesamten Verlauf streng monoton steigend. Sie hat keinen Extremwert, da niemals gleich 0 ist. Daraus entnimmt man, dass sie ihr Monotonieverhalten nie ändert. Und um zu zeigen, ob steigend oder fallend, musst du nur für einen beliebigen x-Wert den Anstieg berechnen. Und da ein solcher Wert positiv sein wird, ist dies auch für allen anderen x-Werte der Fall. zu Aufgabe du schreibst: "Nullstelle der 2.Ableitung VOR dem Wendepunkt der Ausgangsfunktion" Der Wendepunkt liegt (immer) genau auf der Nullstelle der 2.Ableitung. zu Aufgabe Das ist korrekt. zu Aufgabe Kann es sein, dass du ein falsches oder vielleicht englisches Zahlenverständnis hast? :-) sind 8 Milliarden Millionen Tausend. |
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Guten Morgen,
zu Aufgabe a) Klingt logisch^^
zu Aufgabe d) Aber einen x-Wert muss ich dann in f'(x) berechnen, weil das ja die Steigung angeben würde oder?
e) Hmm und wie soll ich dann bestimmen, wann die Wachstumsrate am schnellsten viel? Am Wendepunkt ist die größte positive Wachstumsrate. Also muss ja kurz nach dem Wendepunkt dann die das fallen der Wachstumsrate kommen oder?
zu Aufgabe g) Leider war es zu dem Zeitpunkt ein falsches^^ Zu früß am morgen :D
Ist diese Aufgabe denn von der Rechnung her korrekt? |
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Tachchen, Aufgabe "Aber einen x-Wert muss ich dann in berechnen, weil das ja die Steigung angeben würde oder?" Genau so ist es. Aufgabe "Hmm und wie soll ich dann bestimmen, wann die Wachstumsrate am schnellsten viel?" Da hatte ich einen Verständnisfehler. Grundsätzlich gilt ja: der Punkt, wo der Anstieg einer Funktion am stärksten steigt oder am stärksten fällt, ist der Wendepunkt. Nun will man aber nicht wissen, wann die Zahl der Infizierten am stärksten stieg, sondern wann das Wachstum am stärksten stieg bzw. fiel. Das heißt: Es ist der Wendepunkt der Anstiegsfunktion gesucht, also von der Wendepunkt! Man kommt also nicht drum herum, von der Ausgangsfunktion noch die zweite Ableitung zu bilden. Und hat tatsächlich zwei Wendepunkte: nämlich einen, wo das Wachstum am stärksten stieg und einen, wo das Wachstum am stärksten fiel. ("fiel" mit übrigens *grins*) Wie kriegt man diese Punkte raus? Anscheinend habt ihr mit eurem Taschenrechner die Möglichkeit, dies quasi durch Annäherungsverfahren herauszufinden, also durch Ausprobieren. Der mathematisch korrektere aber etwas steinigere Weg wäre die Ermittelung der dritten Ableitung, also und diese gleich 0 zu setzen. Als Wendepunkte bezogen auf habe ich und . |
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Moin,
Aufgabe e) Oh man. Ich frag mich echt, wie der erwarten kann, dass man auf sowas kommt... Aber naja. Jedenfalls kann mein Taschenrechner das alles leicht ausrechnen. Allerdings hat er was gebraucht um die 3. Ableitung zu bilden und diese dann nach x aufzulösen. Ich bin in der Zeit duschen gegangen xD
Ausspucken tut er mir dir gleichen Werte, die du auch bereits aufgeschrieben hast :)
Damit wäre das alles endlich vollbracht^^
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe ! :)
Schönen Sonntag noch! |
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