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Mathedilemma, doppelte Nullstellen!
Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe
Tags: Doppelte Nullstellen, Ganzrationale Funktionen
 
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Hallo Leute! Ich muss am Dienstag eine GFS zum Thema "doppelte Nullstellen" in Mathe halten. Hierzu soll ich eine Aufgabe lösen, allerdings komme ich bei der 4. Teilaufgabe nicht weiter und bräuchte dringend eure Hilfe! Ergänze und begründe anschaulich: Hat eine ganzrationale Funktion an der Stelle eine doppelte Nullstelle, so gilt: . Ich bin echt ratlos und hoffe irgendjemand von euch kann mir schnellstmöglich helfen! Liebe Grüße Maria Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Hat eine ganzrationale Funktion an der Stelle eine doppelte Nullstelle, so gilt: Beim Ableiten reduziert sich die Vielfachheit einer Nullstelle immer um eins. Eine doppelte Nullstelle einer ganzrationalen Funktion ist also gleichzeitig auch immer ein Extremum. Bei einer einfachen Nullstelle schneidet der Funktionsgraph die x-Achse, bei einer doppelten Nullstelle berührt er sie nur. |
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Aber dann gehst du doch davon aus, dass ist Ich kanns nicht nachvollziehen, kannst du es mir versuchen nochmal zu erklären? |
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Wie kommst Du auf ? bedeuted einfach nur, dass es um irgendein spezielles geht. Die 1 ist nur eine Art Nummerierung. soll der Name der doppelten Nullstelle sein. Das könnte beispielsweise auch sein. |
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Kannst du mir eine Beispielaufgabe geben, damit ich mir das mal mit Zahlen vorstellen kann, ich bin mir nicht sicher ob ich es richtig verstanden habe. |
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Dann untersuche mal die Nullstellen von . |
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Es gibt nur eine Nullstelle und die ist . Oder? Ich habe die Funktion einfach in die Mitternachtsformel gesetzt und beides mal erhalten. |
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Rechne bitte nochmal nach. Das Ergebnis sollte sein: und . Wenn zwei Mal die gleiche Nullstelle herauskommt, nennt man das eine doppelte Nullstelle. Und ich behaupte jetzt: . Berechne also und kontrolliere das! |
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Upps ich hab bei der Mitternachtsformel mit angefangen. So ich erhalte jetzt also und Und dann? |
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? Und zeichne mal . Dann solltest Du den oben beschriebenen Zusammenhang erkennen (doppelte Nullstelle mit Berühren der x-Achse). |
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Okei da kommt jetzt 0 raus, somit sind wir wieder bei: Und das gilt für alle ganzrationalen Funktionen mit einer doppelten Nullstelle? |
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Richtig! Die Frage ist jetzt nur, wie man das sauber begründet. Die einfachste Begründung, die mir gerade einfällt, würde Produktregel (und vielleicht sogar Kettenregel) erfordern. Aber vermutlich hattet Ihr im Unterricht diese Ableitungsregeln noch gar nicht?! |
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Also wir haben gelernt wie man eine Funktion ableitet, aber von der Kettenregel hab ich noch nichts gehört... |
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Hm, tut mir Leid. Ich hab da jetzt keine Idee, wie man das ohne Kenntnis der Produktregel erklären soll. Vielleicht ein anderer Helfer? |
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Kannst du mir versuchen diese kurz versuchen zu erklären? |
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Die Produktregel? Die sagt, wie man eine Funktion, die ein Produkt von zwei Funktionen ist, ableitet: Aber ganz ehrlich: Niemand erwartet von Dir Stoff zu kennen, der im Unterricht noch nicht dran war. Und meine Beweisidee (mit Hilfe der Produktregel) überfordert auch den durchschnittlichen Schüler der . Klasse. |
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Also denkst Du, dass es reicht wenn ich es einfach nachweise, mit einem Beispiel, sowie einer Skizze? |
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Also denkst Du, dass es reicht wenn ich es einfach nachweise, mit einem Beispiel, sowie einer Skizze? |
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Also denkst Du, dass es reicht wenn ich es einfach nachweise, mit einem Beispiel, sowie einer Skizze? |
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Ich glaube, das ist die richtige Idee! Wenn Du da mit (relativ) komplizierten Sachen jonglierst, glaubt wohl keiner, dass die von Dir stammen?! |
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Ein schönes Beispiel wäre auch: Man sieht hier den Unterschied zwischen doppelter Nullstelle bei und einfacher Nullstelle bei . |
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Eine doppelte Nullstelle muss aber nicht zwingend immer der selbe Punkt sein oder? |
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Die Frage verstehe ich nicht! Eine doppelte Nullstelle ist EINE Nullstelle und gehört zu EINEM Punkt. |
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Einen Moment ich schreibe mal die komplette Aufgabe mit meinem Lösungen ab und stell dann die Frage, ist das in Ordnung? |
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Ja, mach nur. |
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Also es heißt hier: Die Funktionen mit f(x)=x³-2,5x²-2x+6 und mit g(x)=x³+4x²-3x-18 haben eine Nullstelle bei . Führe eine Polynomdivision durch und bestimme so eine weitere Nullstelle von bzw . Gib damit eine Zerlegung der Funktionsterme in Faktoren an. der letzte Teil bedeutet was? Bei meiner Rechnung kommen bei beides mal 3 raus, das kann doch nicht stimmen? Skizziere mithilfe der Nullstellen und sonstiger EIgenschaften, welche sich in der Funktionsgleichung ablesen lassen, einen Graphen von bzw . Hier kann ich den y-Achsenabschnitt ablesen und durch die höchste Potenz,x³ die Form der Funktion,die Nullstellen markieren und verbinden. Die Stelle heißt doppelte Nullstelle der Funktion die Stelle heißt doppelte Nullstelle der Funktion . Wie erkennt man am Graphen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt? Mit dieser Frage sind aber nicht die oberen Funktionen gemeint oder, denn dann ergibt das keinen Sinn für mich. Oder kann es zwei verschiedene Nullstellen geben und man nennt diese dann trotzdem "doppelte Nullstellen" ?    |
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Mist ich habe die Mitternachtsformel jetzt wieder falsch angewendet, ich rechne das nochmal nach. |
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Dann kommt da jetzt raus: -für -für Aber auch das macht doch irgendwie keinen Sinn... ? |
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Wobei doch schon eine doppelte Nullstelle für die Funktion ist, wenn ich das was du mit vorhin erklärt hast richtig verstanden habe. Aber wenn es eine doppelte Nullstelle gibt und eine einfache, wie nennt man das dann? Es tut mir so leid, dass ich so viele Fragen stelle, aber mir ist diese GFS sehr wichtig... |
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Bei müssten die Nullstellen sein, damit 2 die doppelte Nullstelle von ist, oder? Aber wie soll man das bitte am Graphen erkennen? |
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Okei ich hab bei als Nullstellen jetzt raus, somit ist 2 die doppelte Nullstelle, weil wir ja anfangs schon die Nullstelle 2 gegeben haben. Stimmt das soweit? Ich spame dich hier so voll, ohje.. es tut mir so aufrichtig leid. |
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Kein Problem! Ich bin allerdings nicht ständig verfügbar... Ich fasse zusammen: hat eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei . Das siehst Du am Graph sehr schön: dieser schneidet (hier von unten nach oben) bei durch die x-Achse, während er bei diese nur berührt. Genau das ist der Unterschied zwischen einfacher und doppelter Nullstelle! g(x)hat eine doppelte Nullstelle bei eine einfache bei . Auch hier sieht man deutlich den Unterschied. |
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Aaaaaaaaah jetzt versteh ich das!:-D) Die Erleuchtung, ich dachte schon ich komm heute nie zu einem Ende. Vieeeeelen Danke♥ Aber noch eine einzige aller aller letzte Frage: Wenn ich einen Graphen habe, wie bestimme ich da die Funktionsgleichung?  |
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Das spiegelt leider etwas. Der blaue Graph hat die Form einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Die Nullstellen sind (doppelt) und 2. Kennst Du das Prinzip der Linearfaktoren? Zu einer Nullstelle gehört immer der Linearfaktor bei doppelter Nullstelle haben wir dann . Zum blauen Graphen gehört also die Funktionsgleichung Der Streckungsfaktor a ist jetzt noch so zu bestimmen, dass passt. Hier ergibt sich daraus . Der rote Graph dürfte zu einer Funktion vierten Grades gehören. Probier das über die Nullstellen mal selbst. |
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das müsste dann so sein : a*(x-2)³*(x+1)²*(x+3) aber was ist a? |
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Entschuldigung, wenn ich mich einmische. Deine Linearfaktoren sind zwar richtig gewählt, aber wieso möchtest du nun nehmen? Matlog hat doch vorhin erklärt, dass doppelte Nullstellen zu einem Berührpunkt führen. Und bei berührt eben der Graph die x-Achse. Bei schneidet der Graph die x-Achse. Also ist dort sicher keine doppelte Nullstelle, sondern eine einfache. Außerdem wäre es so, wie du es aufgeschrieben hast, eine Funktion 6. Grades. Gibt's zwar auch, wäre aber doch ein bisschen heftig. Matlog hatte vorhin von einer Funktion 4. Grades geschrieben. Das a erhältst du ebenso wie bei der blauen Funktion. Hier ist allerdings . Gruß Magix |
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Ich kann mich den Ausführungen von magix nur anschließen. Eine Ergänzung: Eine dreifache Nullstelle wie durch wäre im Graph ein Sattelpunkt! Also mach doch nochmal einen Versuch! |
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a*(x-2)²*(x+1)*(x+3) Ich verstehe allerdings nicht wie man auf das a kommen soll.. Zudem dachte ich eine Funktion dritten bzw vierten Grades auch diese Zahl als höchste Potenz enthält. ax³+bx²+cx+d Wie erkenne ich dann an der oben stehenden Gleichung, dass es sich um eine Funktion vierten Grades handelt? Steht das "²" für die dopplete Nullstelle und die zwei daneben als einfach, sodass ich auf vier komme? Und ein "³" für eine dreichfache? Wie erkenne ich dann in einem Graphen eine dreichfache, vierfache, fünfachfache etc. Nullstelle? Und schreibe ich dann die Anzahl der Nullstelle in die Potenz? |
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Und wie erkenne ich eine vierfache bzw fünffache? |
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Und wie erkenne ich eine vierfache bzw fünffache? |
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Und wie erkenne ich eine vierfache bzw fünffache? |
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ist richtig! (siehe magix) Daraus berechnet man das . Durch Ausmultiplizieren (und binomische Formel) kannst Du in die Form bringen, wenn Dir diese Form lieber ist. Bei einer doppelten Nullstelle bei 2 kommt zwei Mal heraus. Also gibt es den Linearfaktor auch zwei Mal: Bei einer dreifachen Nullstelle dann eben usw. Eine vierfache Nullstelle sieht ähnlich wie eine doppelte Nullstelle aus, nur noch flacher. Das ist mit bloßem Auge sehr schwer zu unterscheiden (musst Du wohl auch nicht). Vergleiche die Graphen von und miteinander. Die fünffache Nullstelle sieht wieder der dreifachen ähnlich, die sechsfache ist der doppelten und vierfachen ähnlich usw. Aber solch große Vielfachheiten sind sehr selten. |
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Wie komme ich auf die bzw ? |
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Einfach aus den Graphen einen Punkt ablesen: bzw. . Das kann auch ein ganz anderer Punkt sein. Er muss nur genau ablesbar sein (aber keine der Nullstellen nehmen). Bei rechnet es sich besonders leicht. |
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Ich komm mir gerade so dumm vor.. Ich kann immer noch nicht nachvollziehen wie ich dadurch a herausfinden kann. |
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Roter Funktionsgraph: (abgelesen aus Graph) |
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Ja klar, ich bin so doof, jetzt blick ich's:-D) Vielen Danke für Deine Hilfe :-) Ich melde mich wenn ich noch ne Frage habe, aber im Moment ist alles klaro Also vielen lieben Dank für Deine Geduld. :-) Ich hab gesehen Du bist Lehrer. Tut mir Leid für's Duzen Sie sind ein seeeehr guter Lehrer ;-) Und falls es Sie interessiert, werde ich Ihnen berichten wie die GFS gelaufen ist. :-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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