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Matrix mit dem Exponenten 100 berechnen?

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Eigenwerte

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Eigenwert, Matrizenrechnung, Vektorraum

ge-10 aktiv_icon

23:23 Uhr, 10.05.2022

Es geht um die Matrix hier drunter. Ich soll

A^{100}

berechnen. Wie genau schaffe ich das?

a 10000

0 a 1000

00 a 000

000 b 10

0000 b 0

00000 c

Eine weitere Frage hätte ich auch noch.
Ich habe folgende Aufgabenstellung "Trigonalisieren Sie die folgenden Matrizen

A 1

und

A 2

jeweils, indem Sie eine invertierbare Matrix

S^{- 1}

berechnen, so dass

S^{- 1} \cdot A \cdot S

eine obere Dreiecksmatrix ist. Berechnen Sie auch

S^{- 1}

und die Dreiecksform explizit" ich habe hier mithilfe der Haupträume die Matrix

S

berechnet und hiernach diese Matrix invertiert und die Dreiecksmatrix berechnet, ist dies korrekt so oder soll ich etwas anderes tun?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

07:33 Uhr, 11.05.2022

Hallo,

die Matrix ist eine Jordansche Normalform.
Was wisst ihr darüber?

Mfg Michael

ge-10 aktiv_icon

10:20 Uhr, 11.05.2022

So gut wie nichts, wir wissen, dass die Anzahl der Kästchen gleich der Dimension der Matrix ist und man eine solche Matrix mithilfe der diagonalen die eigenwerte berechnen kann.

HAL9000

10:59 Uhr, 11.05.2022

1) Es handelt sich bei einer solchen Jordanmatrix um eine spezielle Blockdiagonalmatrix: D.h. alles außerhalb der quadratischen Blockmatrizen entlang der Hauptdiagonale ist gleich Null.

Die Potenz einer solchen Matrix ist gleich der Blockdiagonalmatrix bestehend aus den Potenzen der einzelnen Blockmatrizen.

2) Nun zu diesen einzelnen Jordan-Blockmatrizen: Die haben alle die Struktur

J = λ I + N

mit

d \times d

-Matrizen

J, I, N

, wobei

I

die Einheitsmatrix ist und

N

eine Matrix mit sämtlich Einsen auf der ersten oberen Nebendiagonale, und ansonsten Null. Das ist eine sehr spezielle Nilpotenzmatrix mit folgener Eigenschaft der Potenzen:

N^{k}

besteht für

1 \leq k \leq d - 1

aus Einsen auf der

k

-ten oberen Nebendiagonale, sonst Null. Im Fall

k \geq d

ist es dann einfach die Nullmatrix.

Das kann man nutzen bei der Berechnung der

J

-Potenzen:

J^{n} = {(λ I + N)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) λ^{n - k} I^{n - k} N^{k} = λ^{n} I + \sum_{k = 1}^{d - 1} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) λ^{n - k} N^{k}

Beispiel: Für

A = (\begin{array}{ccc} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 0 & 0 & a \end{array})

ist

d = 3

und

λ = a

, es folgt dann

A^{n} = a^{n} I + n a^{n - 1} N + \frac{n (n - 1)}{2} a^{n - 2} N^{2} = (\begin{array}{ccc} a^{n} & n a^{n - 1} & \frac{n (n - 1)}{2} a^{n - 2} \\ 0 & a^{n} & n a^{n - 1} \\ 0 & 0 & a^{n} \end{array})

ge-10 aktiv_icon

17:39 Uhr, 11.05.2022

Ich habe jetzt bei

A :

J^n=a^n*I+Summe(k=0 bis

d - 1) a^{n - k} \cdot N^{k}

und verstehe nicht wie ich auf die letzte Zeile komme.

HAL9000

17:47 Uhr, 11.05.2022

Die Formel, die du da jetzt eben genannt hast, ist falsch.

ge-10 aktiv_icon

18:14 Uhr, 11.05.2022

Ich hab dir ein Bild geschickt, was ist da falsch?

HAL9000

19:41 Uhr, 11.05.2022

Das jetzt stimmt, ist ja auch was ganz anderes: In deinem Beitrag 17:39 fehlte der Binomialkoeffizient, und die Summe begann bei k=0 statt k=1 - wie soll ich also was zu Formeln sagen, die derart verstümmelt sind?

ge-10 aktiv_icon

19:46 Uhr, 11.05.2022

In der Aufgabe steht "Hinweis: Sie müssen Binomialkoeffizienten nicht explizit ausrechnen; Angabe von

n

k

reicht.Schlagen Sie hierfür ggf. den Binomischen Lehrsatz nach,

z

. B. auf Wikipedia"
Heißt das, dass ich sozusagen für die erste Matrix A fertig bin oder muss ich da noch was machen? Bin mir nicht sicher wie ich das

n

und

k

verwenden soll.

HAL9000

20:24 Uhr, 11.05.2022

Ich hab den Eindruck, du grübelst über Fragen, die doch schon lange geklärt schienen: Ich hatte oben schon

(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) = n

und

(\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) = \frac{n (n - 1)}{2}

eingesetzt...

ge-10 aktiv_icon

20:28 Uhr, 11.05.2022

Ich verstehe nicht ganz was ich jetzt machen soll, das was auf dem Bild steht habe ich schon, was muss ich jetzt tun? Ich kann die letzte nicht ganz nachvollziehen.

HAL9000

08:52 Uhr, 12.05.2022

Schwierige Kommunikation, da du nicht genau benennst, was du nicht verstehst. "Das letzte" ist keine sonderlich genaue Referenzierung:

Meinst du womöglich die letzte Zeile in meinem Beitrag 11.5., 10:59 ? Das ist einfach nur die Binomische Expansion der drittletzten Zeile angewandt auf

d = 3

, unter Berücksichtigung von

(\begin{array}{c} n \\ 1 \end{array}) = n

(\begin{array}{c} n \\ 2 \end{array}) = \frac{n (n - 1)}{2}

sowie

N = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

und

N^{2} = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

Kartoffelchipsman aktiv_icon

12:22 Uhr, 12.05.2022

step by step, uh baby...

{(\begin{matrix} a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{100}

= {((\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}))}^{100}

= \sum_{k = 0}^{100} (\begin{matrix} 100 \\ k \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{100 - k} \cdot {(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{k}

= (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{100} \cdot {(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{0}

+ (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{99} \cdot {(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{1}

+ (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{98} \cdot {(\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{2}

= (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{100} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{99} \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{matrix})}^{98} \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{100} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{100} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a^{99} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{99} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{99} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{99} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{99} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{99} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a^{98} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{98} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{98} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{98} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{98} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{98} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{100} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{100} \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & a^{99} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{99} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{99} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 & a^{98} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot b^{100} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot b^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot c^{100} \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{99} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{99} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot b^{99} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

+ (\begin{matrix} 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot a^{98} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{99} & (\begin{matrix} 100 \\ 2 \end{matrix}) \cdot a^{98} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot a^{99} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot a^{100} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot b^{100} & (\begin{matrix} 100 \\ 1 \end{matrix}) \cdot b^{99} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot b^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (\begin{matrix} 100 \\ 0 \end{matrix}) \cdot c^{100} \end{matrix})

= (\begin{matrix} a^{100} & 100 \cdot a^{99} & 4950 \cdot a^{98} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{100} & 100 \cdot a^{99} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{100} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{100} & 100 \cdot b^{99} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{100} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{100} \end{matrix})

Kartoffelchipsman aktiv_icon

12:28 Uhr, 12.05.2022

Die "weitere Frage" in Deinem ersten Beitrag

musst Du nochmal exakt formulieren.

Ansonsten noch etwas zu lesen für Dich.

Dort werden auch hohe Potenzen von Jordankästchen berechnet,

es geht aber auch noch um mehr...

HAL9000

14:47 Uhr, 12.05.2022

Ich zitiere nochmal aus meinem Beitrag 11.5., 10:59

> 1) Es handelt sich bei einer solchen Jordanmatrix um eine spezielle Blockdiagonalmatrix [...] Die Potenz einer solchen Matrix ist gleich der Blockdiagonalmatrix bestehend aus den Potenzen der einzelnen Blockmatrizen.

D.h., man muss nicht auf die harte Tour (vom Aufschrieb her) ellenlange Rechnungen mit 6x6-Matrizen durchführen, sondern es reicht die getrennte Potenzbildung der 3x3-Matrix zu Eigenwert

a

, der 2x2-Matrix zu EW

b

und der 1x1-Matrix zu EW

c

, um am Ende alles zusammenzupacken zu dem Ergebnis

{(\begin{array}{cccccc} a & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c \end{array})}^{n} = (\begin{array}{cccccc} a^{n} & n a^{n - 1} & \frac{n (n - 1)}{2} a^{n - 2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{n} & n a^{n - 1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^{n} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & b^{n} & n b^{n - 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b^{n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c^{n} \end{array})

,

speziell auch für

n = 100

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:45 Uhr, 12.05.2022

Wie ja auch allgemein bei Potenzen

von Blockdiagonalmatrizen die Blöcke

unter sich bleiben...

So eine voluminöse Rechnung wie von mir hier zuvor

braucht natürlich keiner mehr, der sich auch nur

minimal in die Materie eingearbeitet hat,

aber so jemand kommt ja auch nicht in einem

Matheforum mit seinen LinA

1 -

Hausaufgaben angeklotscht...

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