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Matrixdarst. einer Abbildung in kanonischer Basis

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: kanonische Basis, Linear Abbildung, Matrixdarstellung, Standardbasis

Manuel91 aktiv_icon

18:22 Uhr, 25.03.2017

Hey Leute, ich hätte eine Frage bzgl. einem meiner Übungsbeispiele und komme derzeit nicht weiter...

Die Angabe lautet:

"Sei A die lineare Abbildung vom

R 3

in den

R 3

die

(2,0,1)

→

(- 2,0,1); (1,1,0)

→

(0,2,1)

und

(0,0,1)

→

(1,0,0)

abbildet. Geben Sie eine Matrixdarstellung der Abbildung

A

in der kanonischen Basis
an. Fuhren Sie mit dieser Matrix auch die Probe durch."

Anmerkung: In der Angabe stehen die Vektoren in üblicher Vektorschreibweise mit den Ziffern untereinander - weiß nur nicht wie ich das hier eingeben soll.

Nun, ich weiß, dass die kanonische Basis oder Standardbasis im

R 3 (1,0,0), (0,1,0)

und

(0,0,1)

ist. Ich nehme an, ich muss irgendwie ein Gleichungssystem lösen um meine Abbildung zu erhalten aber ich stehe grad echt auf dem Schlauch... Danke schon mal im Vorhinein!

LG Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

18:28 Uhr, 25.03.2017

Hallo,

ich entnehme deinen Ausführungen, dass du nicht weißt, wie man so eine Aufgabe löst.

Bitte denke zuerst darüber nach, wie die Spalten einer Matrix mit den Bildern der Standardbasisvektoren zusammenhängen.
Wenn du es weißt, dann schreibe den Zusammenhang hier auf!

Mfg Michael

Manuel91 aktiv_icon

00:00 Uhr, 26.03.2017

Hallo Michael,

ja, einfach ausgedrückt weiß ich nicht wie man solche Aufgaben löst. Die Übung ist unserer Vorlesung themenmäßig immer ein, zwei Stunden voraus und Youtube und dergleichen hilft mir momentan auch nicht weiter...

Ich weiß nicht wie wie die Spalten mit den Bildern der Standardbasisvektoren zusammenhängen.

LG

Manuel91 aktiv_icon

00:26 Uhr, 26.03.2017

Nur ganz kurz was ich mir zusammenreimen kann. Ich suche eine (vermutlich)

3 x 3

Matrix in der Standardbasis

(100), (010), (001),

die mir das eine auf das andere abbildet.
Wikipedia sagt mir außerdem: (siehe Bild). Wie kann ich damit weiterarbeiten?

LG Manuel

ledum aktiv_icon

12:40 Uhr, 26.03.2017

Hallo
ich nenne deine Vektoren der Reihe nach

v 1, v 2, v 3

aus diesen Vektoren musst du durch Linearkombination die 3 Standardbasis Vektoren

e 1, e 2, e 3

erzeugen,

e 3 = v 3

hast du schon.
die Linearkombinatin der Bilder ist dann das Bild der

e_{i}

die die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Standardbasis Vektoren
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

13:51 Uhr, 26.03.2017

Gut, ich habe jetzt Folgendes gemacht:

Durch Linearkombination von

v 1, v 2

und

v 3

versuche ich

(100)

zu erzeugen und erhalte folgendes Gleichungssystem:

(100) = x 1 (201) + x 2 (110) + x 3 (001)

Daraus ergibt sich bei mir:

x 1 = \frac{1}{2}, x 2 = 0

und

x 3 = (- \frac{1}{2})

Wenn ich diese Werte nun einsetze erhalte ich:

(100) = \frac{1}{2} (201) + 0 (110) + (- \frac{1}{2}) (001)

Und die Gleichung geht ja schön auf. Weiters habe ich dann auch

(010)

und

(001)

als Linearkombination von

v 1, v 2

und

v 3

dargestellt - also dementsprechende

x 1, x 2

und

x 3

Werte erhalten, damit diese Gleichungen aufgehen.

Und wie gehts dann weiter? Ich muss ja schließlich eine Matrixdarstellung der Abbildung, welche mir

v 1, v 2

und

v 3

auf

v 1', v 2'

und

v 3'

abbildet in der Standardbasis angeben.

Bräuchte ich nicht sowas wie

(201) \cdot (x 1 x 2 x 3) = (- 201)

und die Werte

x 1, x 2

und

x 3

in der Standardbasis?

(201)

ist ja mein

v 1

und

(- 201)

mein

v 1'

.

Ich weiß da leider echt nicht weiter...

Danke trotzdem!

Femat aktiv_icon

14:12 Uhr, 26.03.2017

Dann probiers mal so
Inverse der Urbildmatrix
Bildmatrix mal Inverse(Urbild)= Abbildungsmatrix

Manuel91 aktiv_icon

14:15 Uhr, 26.03.2017

Nochmal kurz was ich mir vorstelle, das ich brauche:

Ich habe:

(201) \cdot

Abbildung

A = (- 201)

(110) \cdot

Abbildung

A = (021)

(001) \cdot

Abbildung

A = (100)

Jetzt brauche ich doch genau diese Abbildung A (und diese Abbildung A ist für alle 3 Vektoren dieselbe oder?) in Matrixdarstellung und zusätzlich muss ich diese Matrixdarstellung in der Standardbasis

(100), (010)

und

(001)

angeben. Sehe ich das richtig?

Ich mache jetzt knapp 8 Jahre nach meiner Matura das erste Mal wieder (intensiv) Mathematik, also verzeiht mir wenn ich bei manchen Sachen etwas länger zum Verstehen brauche

: (

LG Manuel

Manuel91 aktiv_icon

14:56 Uhr, 26.03.2017

Danke Femat!

Und diese Abbildungsmatrix muss ich dann noch in der Standardbasis darstellen? Wenn ja, wie mache ich das? Bin echt dankbar für Lösungen, bin grade sehr am verzweifeln...

LG Manuel

Femat aktiv_icon

15:39 Uhr, 26.03.2017

MichaL hat dich mal gefragt:

Bitte denke zuerst darüber nach, wie die Spalten einer Matrix mit den Bildern der Standardbasisvektoren zusammenhängen.
Wenn du es weißt, dann schreibe den Zusammenhang hier auf!

Ich zeig dir die Multiplikation Abbildungsmatrix mit Standardbasisvektoren.
Was fällt dir auf

Manuel91 aktiv_icon

15:48 Uhr, 26.03.2017

Achso, nun mir fällt auf, dass Abbildungsmatrix mal

(100)

genau die erste Spalte der Abbildungsmatrix ergibt. Matrix mal

(010)

die zweite Spalte der Matrix usw.

Und wie hilft mir das weiter?

LG

Femat aktiv_icon

15:54 Uhr, 26.03.2017

Ja das weiss ich leider auch nicht, weil diese Tatsache ist mir soeben auch erstmal bewusst worden.
Ich weiss bisher, dass man die Abbildungsmatrix bekommt, wenn man Bildmatrix mal Inverse der Urbildmatrix rechnet, wie ich dir gezeigt habe.
Wir brauchen weitere Helfer.

Z . B

. wieder Michal. bitte!

Femat aktiv_icon

16:01 Uhr, 26.03.2017

Damit du auch Matrizen und Vektoren usw. richtig im Textmodus schreiben kannst solltest du folgende pdf runteladen und dir ausdrucken.

http//www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Manuel91 aktiv_icon

16:15 Uhr, 26.03.2017

Ich hätte eine Idee. Wenn ich die Standardbasisvektoren als Linearkombination der Spaltenvektoren meiner Abbildungsmatrix ausdrücke, also

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = x 1 (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 2 (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 3 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = x 1 (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 2 (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 3 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = x 1 (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 2 (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + x 3 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und die dadurch entstehenden Gleichungssysteme löse, erhalte ich dann nicht durch die entstehenden Koeffizienten die Abbildungsmatrix bzgl. Standardbasis?

Ich hätte dann also:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0 (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + 0 (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + 1 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (- \frac{1}{2}) (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + (- \frac{3}{4}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + 0 (\begin{matrix} \frac{3}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Wenn ich die Koeffizienten jetzt in Matrixdarstellung aufschreibe, also

(\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & - \frac{3}{4} & 3 \end{matrix})

Ist das dann meine Abbildungsmatrix bzgl. Standardbasis bzw. die Lösung, die ich suche?

LG

Manuel91 aktiv_icon

16:16 Uhr, 26.03.2017

Danke übrigens für das PDF! :-)

Femat aktiv_icon

16:37 Uhr, 26.03.2017

Jetzt scheint mir das banal trivial.
Irgend eine Matrix mal Einheitsmatrix gibt die Matrix zurück

Manuel91 aktiv_icon

16:39 Uhr, 26.03.2017

Stimmt, jetzt wo dus sagst haha...

Was hältst du von meinem Lösungsansatz?

Femat aktiv_icon

16:47 Uhr, 26.03.2017

Sorry aber ich vermute du suchst etwas was wir schon lange haben.
Es ändert ja keine Basis.
Es ist hier ja alles Kanonenfutter oder eben kanonische Butter-Basis :-)

Manuel91 aktiv_icon

16:53 Uhr, 26.03.2017

Mein Ergebnis ist also die Abbildungsmatrix, die wir schon lange hatten? Und die Darstellung in der kanonischen Basis sollte mir nur zeigen, dass sich dabei nichts ändert (wegen Matrix mal Einheitsmatrix = Matrix)? Tut mir leid, dass ich so schwer von Begriff bin.

Femat aktiv_icon

19:50 Uhr, 26.03.2017

Du kannst folgendes Gleichungsystem aufstellen.
Den rechten Vektor dank unserer besten Erkenntnis sofort einsetzen.
Also hast du 6 Unbekannte und 6 Gleichungen, die relativ schnell berechnet sind.
Die untere Matrix-Mult. ist überflüssig.

ledum aktiv_icon

19:54 Uhr, 26.03.2017

Hallo
eigentlich hatte ich im ersten post schon gesagt, was du machen sollst. du kennst

e_{1} = 0,5 \cdot v 1 - 0,5 v 3

damit kennst du auch das Bild von Bild(e_1)=0,5*(Bild (v1)-0,5*Bild(v3)=0,5*(−2,0,1)^T-0,5*(1,0,0)^T=(-1,5,0,0,5)^T die erste Spalte der Matrix, ebenso die zweite und die dritte stand schon immer da

/ 1,0,0)^{T}

du warst also nach dem ersten post fast fertig.
Was Fermat da unterwegs machte war nicht sehr hilfreich,
Gruß ledum

Manuel91 aktiv_icon

21:04 Uhr, 26.03.2017

Habe allerdings nicht verstanden was genau ich machen soll, weswegen ich nachgefragt habe. Danke auf jeden Fall, habe es jetzt verstanden, denke ich.

LG Manuel

Manuel91 aktiv_icon

21:05 Uhr, 26.03.2017

Danke vielmals

Femat aktiv_icon

11:27 Uhr, 27.03.2017

Da gibts aufgaben mit Lösungen

http//web.fhnw.ch/personenseiten/roger.burkhardt/lehre-an-der-fhnw/lineare-algebra-hs1011/ubungen/loes_serie10/at_download/file

Femat aktiv_icon

18:23 Uhr, 27.03.2017

Da ledum auch verdankeswerterweise mal ein paar konkrete Schritte gezeigt hat, habe auch ich, der nicht sehr hilfreiche, die Schose kapiert.

Da es auch stille Beobachter geben soll, die gerne ganze Lösungswege sehen würden, spendier ich meine Abeit als Bild im Anhang.

Ich würde mir von ledum für Christian und mich einen konkreten Weg auch im Drehmomentgequassel wünschen sonst dreht sich das wie schon oft

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Monate lang im selben Kreis herum. :-)
Herzlich der nicht hilfreiche Fermat alias femat

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