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Maximales Volumen Kegel

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Kegel, Kegelberechnung, maxima, Maximal, Minima, Rotationskörper, Volumen

KoebiMeyer aktiv_icon

12:37 Uhr, 23.01.2010

Meine Aufgabe ist es aus einem A4-Blatt eine Mantelfläche eines Kegels auszuschneiden (mit möglichst grossem Radius)

d . h

. A4-Blatt

\Rightarrow

Breite 21cm

\Rightarrow

Radius

r

bzw. Seite

s

(Kantenlänge) des Kegels beträgt 10.5cm.
Ich muss den Kegel so konstruieren, dass er ein maximales Volumen hat.
Ich habe schon einmal mit dem Pythagoras angefangen

s^{2} = r^{2} + h^{2}

und mit dem Formelbuch die Volumenberechnung

V

herausgefunden

G = π \cdot r \cdot s

und

V = \frac{G \cdot h}{3} = \frac{1}{3} G \cdot h \Rightarrow G =

Grundfläche;

h =

Höhe. Ich weiss aber nicht weiter als das!

für eine rasche Antwort wäre ich sehr sehr dankbar

Lg

KöbiMeyer

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Raummessung
Volumen einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Astor aktiv_icon

12:58 Uhr, 23.01.2010

Hallo,
ich verstehe die Aufgabe so:
der Radius des Kegels ist 10,5 cm

Nun soll ein Kegel mit maximalem Volumen bestimmt werden.

Es gilt für die Mantellinie:

s^{2} = r^{2} + h^{2}

Das Volumen des Kegels ist

V = \frac{1}{3} * G * h

G ist die Grundfläche des Kegels:

G = r^{2} * π

Für h gilt:

h = \sqrt{s^{2} - r^{2}}

Somit gilt für V:

V = \frac{1}{3} * r^{2} π * \sqrt{s^{2} - r^{2}}

Da ja der radius r festgelegt ist, ist V nur noch von s abhängig.

Also V nach s ableiten, Null setzen und Extremum bestimmen.

Gruß Astor

Shipwater aktiv_icon

13:19 Uhr, 23.01.2010

Ich verstehe das eher so, dass

s = 10,5 c m

ist und man die Volumensfunktion dann nach

r

ableiten, null setzen und den Hochpunkt bestimmen soll. Denn wenn man den ausgeschnittenen Kreis zu einem Mantel formt wird der Radius des Kreises ja zur Mantellinie des Kegels.

Gruß Shipwater

KoebiMeyer aktiv_icon

13:21 Uhr, 23.01.2010

Ja die Seite

s

ist 10.5cm.

Wahrscheinlich habe ich die Frage zu wenig genau gestellt:
Ich schneide aus einem A4-Blatt einen Kreis mit dem Durchmesse 21cm aus. Ich schneide an einer beliebigen Stelle längs den Radius ein. Ich muss das Papier ineinander drehen, so dass ein Kegel mit maximalem Volumen entsteht.

Ich hätte zwar die Möglichkeit dies mit Ausprobieren herauszufinden, ich bevorzuge es jedoch algebraisch.

Shipwater aktiv_icon

13:24 Uhr, 23.01.2010

Ja, genauso verstehe ich das auch. Also musst du nun den Hochpunkt von

V (r) = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{{(10,5)}^{2} - r^{2}}

ermitteln.

KoebiMeyer aktiv_icon

13:27 Uhr, 23.01.2010

Wie berechne ich solch einen Hochpunkt? In der Schule haben wir es mit Maxima Minima gelernt, hab das aber nie recht verstanden

danke für die bisherigen Antworten

Shipwater aktiv_icon

13:30 Uhr, 23.01.2010

Die notwendige Bedingung eines Hochpunktes ist

f' (x) = 0

Also nur Punkte mit waagerechter Tangente (mit der Steigung

0)

kommen als Hochpunkte in Frage. Daher ist das erste was du tun musst, deine Funktion abzuleiten und dann mit

f' (x) = 0

nach waagerechten Tangenten zu suchen. Hast du dies gemacht musst du noch überprüfen ob

f'' (x) < 0

ist, da ein Punkt für den gilt

f' (x) = 0

nicht zwingend ein Hochpunkt ist (Kann ja auch

z . B

. ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt sein). Falls

f'' (x) < 0

erfüllt ist hast du einen Hochpunkt gefunden.

Gruß Shipwater

KoebiMeyer aktiv_icon

18:40 Uhr, 23.01.2010

Ich komme mit

f' (x) = 0

nicht wieter
Ich habs versucht mit

0 = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot \sqrt{10 . 5^{2} - r^{2}}

. Komme aber nicht weiter. Ich habs auch schon versucht dies in eine Quadratische Funktion umzuformen, was mir nicht gelungen ist

Hilf mir da bitte weiter

Lg
KM

Shipwater aktiv_icon

20:41 Uhr, 23.01.2010

Du kannst auch den Hochpunkt der Quadratsfunktion nehmen, da die Funktion nie negativ wird. Also

\frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} \cdot ({10,5}^{2} - r^{2})

wenn dir die Wurzel Probleme macht.

KoebiMeyer aktiv_icon

21:23 Uhr, 23.01.2010

Ich habe jetzt versucht eine Quad. Funktion zu machen und dann den Scheitelpunkt

s

(welches das Maximum anzeigt!?) zu berechnen. Jetzt kommt mir aber das Problem, dass mir das nicht ohne

x

(und

y)

geht.
Weiter habe ich versucht die

\frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} \cdot (10 . 5^{2} \cdot r^{2})

umzuformen indem ich es gleich 0 gesetzt habe

(0 = \frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} \cdot (10 . 5^{2} \cdot r^{2}))

weil es ja

f (x) = 0

ist!?, komme dann aber auf

0 = 0.2058 ... \cdot π^{2},

was überhaupt nicht logisch ist (denn

0 \neq 0.2058 ... \cdot π^{2})

Könntest du mir erklären wie ich mit

\frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} \cdot (10 . 5^{2} \cdot r^{2})

auf einen Maximalwert komme?

Ich hoffe ich nerve dich nicht
Lg
KM

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22:01 Uhr, 23.01.2010

Du musst die Funktion ableiten.

KoebiMeyer aktiv_icon

12:19 Uhr, 24.01.2010

Noch ne frage: ich habe in der Schule gelernt , das man so ableitet:

y = a x^{2} + b x + c

aber was ist jetzt bei

V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{10 . 5^{2} - r^{2}}

a,

was

b

und was

c

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12:24 Uhr, 24.01.2010

Du machst es dir leichter, wenn du mit der Quadratsfunktion arbeitest.

KoebiMeyer aktiv_icon

12:26 Uhr, 24.01.2010

ist den das keine Quad. Funktion?

wie geht denn das anders???

Shipwater aktiv_icon

12:34 Uhr, 24.01.2010

Du kannst auch die richtige Volumensfunktion ableiten, aber da ist eben diese Wurzel. Wenn dir diese keine Probleme beim Ableiten macht, dann kannst du auch diese ableiten.

KoebiMeyer aktiv_icon

12:42 Uhr, 24.01.2010

ableiten weiss ich nicht wies geht. Könntest du mir dies erklären?

wäre sehr sehr froh darum!!!

Shipwater aktiv_icon

13:01 Uhr, 24.01.2010

Zuerst einmal ausmultiplizieren.

KoebiMeyer aktiv_icon

15:06 Uhr, 24.01.2010

dann komme ich auf

r = 1.1 \bar{6}

,ist das der Radius für das maximale Volumen??? Wenn ich das jetzt aber in die Gleichung

0 = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot \sqrt{10 . 5^{2} - r^{2}}

einsetze, dann komme ich auf

0 = 0.2058 \cdot π^{2}

was nicht logisch ist!!!

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15:34 Uhr, 24.01.2010

{(V (r))}^{2} = \frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} \cdot (110,25 - r^{2}) = \frac{110,25}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{4} - \frac{1}{9} \cdot π^{2} \cdot r^{6}

({(V (r))}^{2})' = 49 \cdot π^{2} \cdot r^{3} - \frac{2}{3} \cdot π^{2} \cdot r^{5}

({(V (r))}^{2})' = 49 \cdot π^{2} \cdot r^{3} - \frac{2}{3} \cdot π^{2} \cdot r^{5} = 0

r^{3} (49 \cdot π^{2} - \frac{2}{3} \cdot π^{2} \cdot r^{2}) = 0

r^{3} = 0 \Leftrightarrow r_{1} = 0

oder

49 \cdot π^{2} - \frac{2}{3} \cdot π^{2} \cdot r^{2} = 0

49 = \frac{2}{3} \cdot r^{2}

49 \cdot \frac{3}{2} = r^{2}

\pm \frac{7 \sqrt{6}}{2} = r_{2,3}

Von der Logik her gesehen einzig sinnvolle Lösung ist

r = \frac{7 \sqrt{6}}{2}

also wird das das wohl gesuchte Ergebnis sein. Bleibt nur noch zu zeigen, dass es auch ein Hochpunkt ist:

({(V (r))}^{2})'' = 147 \cdot π^{2} \cdot r^{2} - \frac{10}{3} \cdot π^{2} \cdot r^{4}

({(V (\frac{7 \sqrt{6}}{2}))}^{2})'' = 147 \cdot π^{2} \cdot {(\frac{7 \sqrt{6}}{2})}^{2} - \frac{10}{3} \cdot π^{2} \cdot {(\frac{7 \sqrt{6}}{2})}^{4} \approx - 71090 \Rightarrow

Hochpunkt

Gruß Shipwater

KoebiMeyer aktiv_icon

18:05 Uhr, 24.01.2010

Ich habs versucht mit

r = \sqrt{7}

das Volumen auszurechnen:

V = \frac{1}{3} π \cdot {(\sqrt{7})}^{2} \cdot \sqrt{10 . 5^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}} = 74.485

Hab ich für ein wenig klein gehalten und habs mit Einsetzen von anderen Zahlen versucht:

r = 8.6 \Rightarrow V = 466.572

Ich glaub, das ist das maximale Volumen weil bei

r > 8.6

und bei

r < 8.6

ist das Volumen kleiner, was meinst du?
Wie wäre man algebraisch auf diese Lösung gekommen??? Gibt es da einen Weg?

danke für die bisherige Hilfe!!!

Shipwater aktiv_icon

18:17 Uhr, 24.01.2010

Ähm wie kommst auf

r = \sqrt{7}

da steht doch

r = \frac{7 \sqrt{6}}{2} \approx 8,57

was mit deinem durch Ausprobieren gefundenem Wert doch fast übereinstimmt?

KoebiMeyer aktiv_icon

18:24 Uhr, 24.01.2010

Sorry habe deine Korrektur der Antwort nicht gesehen! Wie du gesehen hast bin ich auf die Gleiche Antwort gekommen wie du, du nur noch genauer! Danke viel viel mals, du hast mich gerettet!!!

danke für deine Bemühung

KoebiMeyer

Shipwater aktiv_icon

18:27 Uhr, 24.01.2010

Gern geschehen.

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