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Maximum Poisson-Verteilung

Schüler

Tags: Analysis, einer formel, Maximum, Poisson-Verteilung, Stochastik, Umformen

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22:30 Uhr, 16.04.2011

Ich bräuchte Hilfe, da ich das Maximum einer Poisson-Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Analysis-Methoden berechnen muss.

Die Formel lautet: $P (x = k) =$ $\frac{γ^{k}}{k!} \cdot e^{- γ}$
Ich denke ich muss diese Ableiten und anschließend Nullsetzten
Ich versteh aber nicht wie ich $k!$ usw. ableiten soll

Hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal

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OmegaPirat

23:59 Uhr, 16.04.2011

Hallo
Die Fakultätsfunktion abzuleiten ist ein wenig schwierig. Dazu müsstest du das Fakultät durch die Gammafunktion ersetzen. Das Maximum zu bestimmen geht aber viel einfacher. Mir fallen spontan zwei Möglichkeiten ein.

Möglichkeit 1:
Betrachte den Ausdruck

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)}

Was muss hierfür in der Nähe des Maximums gelten?

Möglichkeit 2:
Betrachte den Ausdruck

ln (P (x = k))

und verwende die Stirling-Formel

ln (k!) \approx k \cdot ln (k) - k

Welche Beziehung besteht zwischen den Maxima von

ln (P (x = k))

und den Maxima von

P (x = k)

?

Ich denke die Möglichkeit 1 ist hier vorzuziehen. Bei der zweiten Möglichkeit müsste man noch ein wenig zur Güte der Näherung sagen.

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11:53 Uhr, 20.04.2011

Danke schonmal für deine Hilfe =) und tschuldige, dass ich so lange nicht geschrieben habe.

Ich kam beim Vereinfachen auf folgendes:

\frac{γ}{k + 1}

Frage mich nur, da ich das auch erklären muss wie man am anfang auf

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)}

kommt?

Desweiteren weiß ich nicht genau was jetzt endgültig heraus kommt.
Hab mal gelesen, dass die Poisson-Verteilung nur ein Maximum besitzt.

Ist

\frac{γ}{k + 1}

jetzt meine endgültige Formel?! und wie komm ich von dieser auf das Maximum.

Hoffe irgendwer kann mir helfen !

OmegaPirat

17:40 Uhr, 20.04.2011

k_{max}

sei jetzt dasjenige

k

bei dem die Poissonverteilung maximal wird.
Dann gilt

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)} > 1

für alle

k < k_{max}

und

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)} < 1

für alle

k - 1 > k_{max}

Überleg dir warum das so ist und wie man damit das Maximum bestimmen kann.

Du hast übrigens den Ausdruck

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)}

nicht ganz korrekt berechnet. Es gilt nämlich

\frac{P (x = k)}{P (x = k - 1)} = \frac{(\frac{γ^{k}}{k!} \cdot e^{- γ})}{(\frac{γ^{k - 1}}{(k - 1)!} \cdot e^{- γ})} = \frac{γ}{k}

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15:58 Uhr, 21.04.2011

Wenn ich aber die Ableitung mit Hilfe der Gamma-Funktion probiere...
Dann siehts doch so aus:

\frac{λ^{k}}{\forall (k + 1)} \cdot e^{- λ}

das umgedrehte A steht für das Gamma Zeichen

Wenn ich das jetzt Ableite bleibt e ja gleich aber was passiert mit der Gammafunktion und dem Rest?

OmegaPirat

02:46 Uhr, 22.04.2011

Die Gammafunktion ist gegeben durch

Γ (k + 1) = \int_{0}^{\infty} t^{k} \cdot e^{- t} d t

Das kannst du nun einfach nach

k

ableiten. dabei darfst du die ableitung ins integral ziehen. Es ist

\frac{d Γ (k + 1)}{d k} = \frac{d \int_{0}^{\infty} t^{k} \cdot e^{- t} d t}{d k} = ln (k) \cdot Γ (k + 1)

Jetzt sollte auch klar sein wie du

P (x = k) = \frac{λ^{k}}{Γ (k + 1)} \cdot e^{- λ}

nach

k

ableitest.

Dieser Weg ist aber, wie ich finde, weniger elegant, wie der von mir vorgeschlagene weg.

klarsoweit aktiv_icon

12:33 Uhr, 22.04.2011

Danke!
Ja ich denke auch, dass dein Lösungsweg einfacher und besser ist.

Ich muss jedoch mit Methoden der Analysis vorgehen und da ist Ableiten und Nullsetzten einfach DIE Methode.

Danke nochmal für deine Hilfe!!

Trinley1956 aktiv_icon

19:03 Uhr, 07.06.2018

Da ist glaube ich ein Fehler:

f (x) = t^{x} = e^{ln t}

mal

x)

abgeleitet nach

x

ergibt aber

f' (x) = e^{ln t}

mal

x) ln t = t^{x} ln t,

und dann klappt das nicht mehr mit dem

ln (k)

vor dem Integral......

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