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Mehrdimensionale Umkehrfunktion

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Funktionentheorie

Tags: Funktion, Funktionentheorie, Mehrdimensional, Umkehrfunktion

Nonfamous aktiv_icon

12:48 Uhr, 29.06.2016

Hallo,

Ich komme momentan bei der einen Aufgabe gar nicht weiter, wahrscheinlich ist die lösung recht simpel, aber ich schaffe da gerade gar nichts.

Die Aufgabe:

Sei

φ (x) : ℝ^{2} \to ℝ^{3},

mit

φ (x, y) = (2 x + 3 y, x - y, x \cdot y)

Zum einen stört mich, dass es mehrdimensional ist und zum anderen, dass meine Mengen verschiedene Dimensionen haben.

Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

13:05 Uhr, 29.06.2016

Hallo
Betrachte es einfach als Gleichungssystem:

a)

Gleichung 1:

φ_{1} = 2 \cdot x + 3 \cdot y

b)

Gleichung 2:

φ_{2} = x - y

c)

Gleichung 3:

φ_{3} = x \cdot y

Jetzt müsstest du noch genau erklären, was eigentlich die Aufgabe ist.
Aus der Überschrift wage ich zu orakeln, dass du die Umkehrfunktion suchst.
Ich wage zu ahnen, dass du die drei Werte

φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}

als gegeben annimmst,
und die zugehörigen Variablen

x, y

errechnen willst.

Wenn ja, dann betrachte die ersten beiden Gleichungen

a), b)

einfach als lineares Gleichungssystem.
In spätestens 1 Minute hast du die Lösung.

Nonfamous aktiv_icon

13:24 Uhr, 29.06.2016

Genau, ich möchte die Umkehrabbildung bestimmen.

Bin jetzt auf

φ^{- 1} (a, b, c) = (\frac{a + 3 b}{5}, \frac{a - 2 b}{5})

gekommen.
Sollte auch stimmen, habe ein paar Punktproben gemacht.

Kannst du mir auch noch erklären, warum ich jetzt

c)

nicht benutzen muss?
Bzw. heißt dass, falls ich eine andere Funkltion habe

θ (x) : ℝ^{k} \to ℝ^{n},

würde ich die Umkehrfunktion von

θ

erhalten, indem ich das Gleichungssystem

{(a_{1}, ..., a_{k})}^{T} = (θ_{1} ((x_{1}, ..., x_{k})), ..., θ_{k} {((x_{1}, ..., x_{k}))}^{T}

löse?

Edddi aktiv_icon

13:45 Uhr, 29.06.2016

φ_{3}

ergibt sich zwangsläufig aus

x

und

y

.

Du könntest genauso auch

x

und

y

aus

φ_{2}

und

φ_{3}

oder

φ_{1}

und

φ_{3}

errechnen.

;-)

Roman-22

16:11 Uhr, 29.06.2016

Generell gilt, dass die Definitionsmenge von

φ^{- 1} : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

eingeschränkt ist. Nicht jedes Tripel

(a; b; c)

ist zulässig.
Es muss

a^{2} + a \cdot b - 6 \cdot b^{2} - 25 \cdot c = 0

gelten. Es gibt also immer einen Zusammenhang der drei Größen. sie sind nicht frei wählbar.

Anders ausgedrückt wird vermöge der Abbildung

φ

die xy-Ebene

ℝ^{2}

auf die Oberfläche eines hyperbolischen Paraboloids abgebildet, weswegen die Umkehrung auch nur für die Punkte dieser HP-Fläche definiert ist.

R

1314853

1314819

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